累加法与累乘法在数列不等式证明中的应用.doc

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1、累加法与累乘法在数列不等式证明中的应用占雷我们知道等差数列的通项公式由累加法得出，等比数列的通项由累乘法得出。而在数列不等式的证明中这两种方法有着广泛的应用。其指导思想就是将有限项（通常是一项或两项）转化为多项，使得所证明的不等式两边在形式上达成统一，从而通过证明局部来证明整个命题。下面我通过几个例子具体谈谈该方法。通过观察不难发现该不等式的左边有n项，而右边只有一项，为了达成左右统一的形式，我们可把拆成n项积的形式。类似于例1，根据左右两边的形式可先将右边部分拆成n项和经过这次转换后接下来的思路就非常清晰了，可以通过构造函数来证明（2）。通过上面这两个例子我们发现，在对于证明关于正整

2、数n的类似于的相关命题时，引入累加与累乘的思想后很容易观察出下面的思路，从而比较方便准确的找到解题方法。该题在形式上和上述两例一致，有的同学拿到题目后首先想到的可能是如何把求出来，这样一来就相对复杂了。运用累加思想将拆成，所证明的不等式就可以进一步简化。在该方法的运用过程中，最关键的就是将一项拆成多项，值得注意的是在拆完后，左右两边呈现一对一的现象。基于该方法的指导思想我们可进一步延伸，对于左右两边不对称的形式我们同样可采用累加累乘思想先拆分再配对，从而来寻找证明的突破口。下面我们将所证明的不等式中的三部分均写成和的形式将上述三个式子代入所证明的结论中我们发现：右边部分的常数可约去，约

3、完后两边恰好一对一，可直接采用前面的方法求解，下面先证明右边部分对于左半部分结合发现对应关系如下这样在中多出了，在中多出了。此时上述方法无法直接运用，我们仍可利用上述思想将具有对应关系的部分结合，剩下部分结合再来寻找突破口。下面给出左半部分的证明：通过以上四个例题我们发现累加累乘思想是我们在分析此类问题寻找突破口的一把利器。运用好能帮我们快速的找到解决问题的方法。当然还有更多方便快捷有趣的方法等着我们去发现。