方法1：累加法与累乘法.pdf

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1、方法1：累加法与累乘法方法1：累加法与累乘法A组1.☆[累加法]设数列{an}中，a₁＝2，an+1＝an＋n＋2，则通项an＝．解析：由已知得an+1－an＝n＋2，于是有an－a₁＝(an－an-1)＋(an-1－an-2)＋(an-2－an-3)＋……＋(a₂－a₁)＝(n＋1)＋n＋(n－1)＋……＋3(n＋1)＋3n²＋3n－4＝×(n－1)＝，22n²＋3n－4n²＋3nn(n＋3)∴an＝a₁＋＝＝(n≥2)．222n(n＋3)经检验当n＝1时也符合该式．∴an＝．22.◇设数列{an}中，a₁＝3，an＝an-1＋2n，则通项an＝．解析：由

2、已知得an－an-1＝2n，于是有an－a₁＝(an－an-1)＋(an-1－an-2)＋(an-2－an-3)＋……＋(a₂－a₁)＝2n＋2(n－1)＋2(n－2)＋……＋2×22n＋4＝×(n－1)＝(n＋2)(n－1)．2∴an＝a₁＋(n＋2)(n－1)＝3＋(n＋2)(n－1)＝n²＋n＋1(n≥2)．经检验当n＝1时也符合该式．∴an＝n²＋n＋1．an3.◇(2010辽宁卷T16)已知数列{an}满足a₁＝33，an+1－an＝2n，则的最小值为．n解析：a₂－a₁＝2，a₃－a₂＝4，a4－a₃＝6，…，an－an-1＝2(n－1)，以上各

3、式左右两边分别相加，得an－a₁＝2＋4＋6＋…＋2(n－1)＝n(n－1)，an33∴an＝a₁＋n(n－1)＝33＋n(n－1)，则＝＋n－1，nn33/*若x＞0，x∈R，由基本不等式可得＋x≥233，当且仅当x＝33时取得最小值．最接近33的两个整数是x5和6．*/an3353an332153an21当n＝5时，＝＋4＝；当n＝6时，＝＋5＝＜，所以的最小值为．n55n625n24.◇(2011四川卷T8)数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn＝an+1－an(n∈N*)．若b₃＝－2，b10＝12，则a8＝．b10－b₃解析：设{bn}的

4、公差为d，则d＝＝2，∴bn＝b₃＋(n－3)d＝2(n－4)，即an+1－an＝2(n－4)．10－3则a₂－a₁＝－6，a₃－a₂＝－4，a4－a₃＝－2，…，an－an-1＝2(n－5)，累加得到an－a₁＝(－6)＋(－4)＋(－2)＋…＋2(n－5)＝(n－8)(n－1)，故an＝3＋(n－8)(n－1)，a8＝3．1方法1：累加法与累乘法15.◇(2015江苏卷T11)[累加法＆裂项相消法]设数列{an}满足a₁＝1，且an+1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列{}an前10项的和为．解析：由a₁＝1，且an+1－an＝n＋1(n∈N*)得，n(

5、n＋1)an＝a₁＋(a₂－a₁)＋(a₃－a₂)＋…＋(an－an-1)＝1＋2＋3＋…＋n＝，21211则＝＝2(－)，ann(n＋1)nn＋1111111120故数列{}前10项的和为S10＝2(1－＋－＋…＋－)＝2(1－)＝．an2231011111111116.◇数列{an}满足a₁＝1，且对任意的m,n∈N*，都有am+n＝am＋an＋mn，则＋＋＋…＋＝．a₁a₂a₃a2012解析：令m＝1，则有an+1＝a₁＋an＋n，即an+1－an＝n＋1，所以a₂－a₁＝2，a₃－a₂＝3，a4－a₃＝4，……，an－an-1＝n，(n＋2)(n－1

6、)(n＋2)(n－1)n(n＋1)累加得到an－a₁＝2＋3＋4＋…＋n＝，故an＝a₁＋＝，22212111111111114024∴＝＝2(－)，∴＋＋＋…＋＝2(1－＋－＋…＋－)＝．ann(n＋1)nn＋1a₁a₂a₃a20122232012201320137.◇已知数列{an}中，a₁＝p，a₂＝q，且an+2－2an+1＋an＝d，求数列{an}的通项公式．解析：原式可化为(an+2－an+1)－(an+1－an)＝d．令bn＝an+1－an，则bn+1－bn＝d，所以数列{bn}是以b₁＝a₂－a₁＝q－p为首项，以d为公差的等差数列．∴bn＝

7、b₁＋(n－1)d＝q－p＋(n－1)d．即an+1－an＝q－p＋(n－1)d．于是有an－a₁＝(an－an-1)＋(an-1－an-2)＋(an-2－an-3)＋……＋(a₂－a₁)＝[q－p＋(n－2)d]＋[q－p＋(n－3)d]＋[q－p＋(n－4)d]＋……[q－p＋0d]n－2＝(n－1)(q－p)＋×(n－1)d2n－2＝(n－1)(q－p＋d)，2n－2n－2∴an＝a₁＋(n－1)(q－p＋d)＝p＋(n－1)(q－p＋d)(n≥2)．22n－2经检验当n＝1时也符合该式．∴an＝p＋(n－1)(q－p＋d)．2n＋28.☆[累乘法]已

8、知数列{an}中，a₁＝2，满足an+1＝an，求数