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《数列通项的求法一（归纳法、定义法、公式法、累加法、累乘法）-高中数学常见题型解法归纳》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第36讲:数列通项的求法一(归纳法、定义法、公式法、累加法、累乘法)【知识要点】一、数列的通项公式如果数列｛%｝的第斤项％和项数几之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式•即an=f(n).不是每一个数列都有通项公式.不是每一个数列只有一个通项公式.二、数列的通项的常见求法：通项五法1、归纳法：先通过计算数列的前几项，再观察数列中的项与系数，根据色与项数的关系，猜想数列的通项公式，最后再证明.2、公式法：若在已知数列中存在：佈_5=d(常数)
2、或如=q,(qHO)的关系，可采用求等差数列、an等比数列的通项公式的求法，确定数列的通项；若在己知数列中存在：s“=fa)或s”=/(〃)的关系，S,(h=1)可以利用项和公式an=1,求数列的通项.巨-粘(n>2)3、累加法：若在已知数列中相邻两项存在:an-an_x=f｛ii)(77>2)的关系，可用“累加法”求通项.4、累乘法：若在已知数列中相邻两项存在：-^=g(/t)(n>2)的关系，可用“累乘法”求通项.陽一15、构造法：(见下一讲)【方法讲评】方法-归纳法使用情景已知数列的首项和递推公
3、式解题步骤观察、归纳、猜想、证明.【例1】在数列｛$｝中,耳=6,且色一％严也+兄+1n(1)求a2,a3,a4的值;(2)猜测数列｛〜｝的通项公式，并用数学归纳法证明.【解析】（1〉^=12^=20^4=30（2）猜测冬=⑺+IX"+2）.下用数学归纳法证明:①当«=1,2,3,4时〉显然成立；②假设当"=疋（疋24出E"）时成立，即有碍=（疋+1）仗+2）,贝U当”=疋+1曰寸，由+x+l得=故d=^+1+1+疋+1+1=k+k+2~k+l(疋+001+2)+疋+2=(k+2)2+(k+2)=(k
4、+2)(k+3)?故用=疋+1日寸等式成立;由①②可知，咳=（x+lXx+2）对一切me"均成立.【点评】（1）本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜岀数列的通项公式,最后再用数学归纳法加以证明.（2）归纳法在主观题中一般用的比佼少，一是因为它要给予严格的证明，二是有时数列的通项并不好猜想.如果其它方法实在不行，再考虑利用归纳法.【反馈检测1】在单调递增数列｛©｝中，4=1,02=2,且a2n-t,O2n,a2n+i成等差数列，偽“，吆+1，吆+2成等比数列，“1,2,3,….（
5、1）分别计算他，和。4，的值；（2）求数列｛©｝的通项公式（将為用川表示）；（3）设数列｛丄｝的前77项和为S”，证明：S“v旦必屮.ann+2方法二公式法使用情景已知数列是等差数列或等比数列或已知S”=/(©)或S“二/⑺).解题步骤己知数列是等差数列或等比数列，先求出等差(比)数列的基本量Q],d(q),再代入等差(比)数列的通项公式；已知S“*(色)或S”=/(/?)的关系，可以利用项和公式[S.(n=1)att=1,求数列的通项.[S厂為(h>2)【例2】己知数列｛色｝,S”是其前〃项的和，且
6、满足⑷=2,对一切heM都有S“，=3S”+z?+2成立，设bn=an+n.(1)求勺；(2)求证：数列｛bn｝是等比数列；(1)求使丄+丄+・•・+丄>12成立的最小正整数〃的值.Sb2bn81【解析】⑴由a】=2及為]=3^+w2+2当兀=1曰寸巾=7.⑵由S祸=3S耗+宀2及£=3$小+5-1尸+2(«>2)得％=3务+2"—1>故(如+用+1)=3(冬+“)〉即加]=3bK(n>2)?当耳=1时上式也成立,故｛瓦｝是以3为首项，3为公比的等比数列⑶由⑵得皤吩专故3">81解得n>4?最小正整数幵
7、的值5【点评】利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差(公比)后再写出通项.【反馈检测2】已知等比数列｛色｝中,q=64,公比qHl,吆色宀又分别是某等差数列的第7项,第3项，第1项.(1)求dj(2)设bn=log2J,求数列{I仇I}的前77项和Tn•【例3】数列｛色｝的前n项和为S「q=l,色+]=2S〃(nWNJ,求｛%｝的通项公式.'1(n=l)2x3*-2(w>2)【解析】由迢阳=苗1二2>当n刁2时代=S^-Sp二末(纬+i-皱)得-^=3,因此｛"J是首项为2aa勺二2
8、,q=3的等比数列•故aK=2xy-(
9、)2n-(
10、)w_1i1=-+(-2)=^(3-2h)(-)w+1.i_l2(n>2),而同=1不満足该式，所以①门【点评】(1)已知Sn=f(an)或S”=/(n),一般利用和差法.如果已知S”=/(色J或f(e_J也可以采用和差法.(2)利用此法求数列的通项时，一定要注意检验斤=1是否满足，能并则并，不并则分.【例4】已知函数/(x)=-3x2+6x,S”是数列｛an｝的前〃项和，点(n,S”)(
