数列之累加法与累乘法 老师专用

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1、数列之累加法与累乘法老师专用1.☆[累加法]设数列{an}中，a₁＝2，an+1＝an＋n＋2，则通项an＝．．2n(n＋3)经检验当n＝1时也符合该式．∴an＝(n≥2)．2＝2＝2n²＋3n－4n²＋3nn(n＋3)∴an＝a₁＋，n²＋3n－42×(n－1)＝2(n＋1)＋3＝解析：由已知得an+1－an＝n＋2，于是有an－a₁＝(an－an-1)＋(an-1－an-2)＋(an-2－an-3)＋……＋(a₂－a₁)＝(n＋1)＋n＋(n－1)＋……＋32.◇设数列{an}中，a₁＝3，an＝an-1＋2n，则通项an＝．∴an＝a₁＋(n＋2)(n－1)＝3＋(n＋

2、2)(n－1)＝n²＋n＋1(n≥2)．经检验当n＝1时也符合该式．∴an＝n²＋n＋1．×(n－1)＝(n＋2)(n－1)．22n＋4＝解析：由已知得an－an-1＝2n，于是有an－a₁＝(an－an-1)＋(an-1－an-2)＋(an-2－an-3)＋……＋(a₂－a₁)＝2n＋2(n－1)＋2(n－2)＋……＋2×2n3.◇(2010辽宁卷T16)已知数列{an}满足a₁＝33，an+1－an＝2n，则an的最小值为．为2．n21所以an的最小值2153533n＝6＋＝2＜5，当n＝6时，an53433n＝5＋＝5；5和6．*/当n＝5时，anx≥233，当且仅当x

3、＝33时取得最小值．最接近33的两个整数是x＋/*若x＞0，x∈R，由基本不等式可得33＋n－1，nn33∴an＝a₁＋n(n－1)＝33＋n(n－1)，则an＝解析：a₂－a₁＝2，a₃－a₂＝4，a4－a₃＝6，…，an－an-1＝2(n－1)，以上各式左右两边分别相加，得an－a₁＝2＋4＋6＋…＋2(n－1)＝n(n－1)，4.◇(2011四川卷T8)数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn＝an+1－an(n∈N*)．若b₃＝－2，b10＝12，则a8＝．b10－b₃解析：设{bn}的公差为d，则d＝10－3＝2，∴bn＝b₃＋(n－3)d＝2(n－4)，即

4、an+1－an＝2(n－4)．则a₂－a₁＝－6，a₃－a₂＝－4，a4－a₃＝－2，…，an－an-1＝2(n－5)，累加得到an－a₁＝(－6)＋(－4)＋(－2)＋…＋2(n－5)＝(n－8)(n－1)，故an＝3＋(n－8)(n－1)，a8＝3．a5.◇(2015江苏卷T11)[累加法＆裂项相消法]设数列{an}满足a₁＝1，且an+1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列{1}n前10项的和为．41111101122310na12011111{}前10项的和为S＝2(1－＋－＋…＋－)＝2(1－)＝．故数列1nn＋11＝2(－)，ann(n＋1)21则1＝，2n(n＋1

5、)＝nn-1na＝a₁＋(a₂－a₁)＋(a₃－a₂)＋…＋(a－a)＝1＋2＋3＋…＋n解析：由a₁＝1，且an+1－an＝n＋1(n∈N*)得，6.◇数列{an}满足a₁＝1，且对任意的m,n∈N*，都有am+n＝am＋an＋mn，则1＋1＋1＋…＋1＝．a₁a₂a₃a2012201220132013223a2012a₁a₂a₃nn＋11140241＝2(－)，∴＋＋＋…＋＝2(1－＋－＋…＋－)＝．ann(n＋1)111111121∴1＝，2＝2，故an＝a₁＋2(n＋2)(n－1)n(n＋1)(n＋2)(n－1)累加得到an－a₁＝2＋3＋4＋…＋n＝解析：令m＝1，

6、则有an+1＝a₁＋an＋n，即an+1－an＝n＋1，所以a₂－a₁＝2，a₃－a₂＝3，a4－a₃＝4，……，an－an-1＝n，7.◇已知数列{an}中，a₁＝p，a₂＝q，且an+2－2an+1＋an＝d，求数列{an}的通项公式．d)．2n－2经检验当n＝1时也符合该式．∴an＝p＋(n－1)(q－p＋2d)＝p＋(n－1)(q－p＋d)(n≥2)．2n－2n－22∴an＝a₁＋(n－1)(q－p＋n－2＝(n－1)(q－p＋d)，2n－2＝(n－1)(q－p)＋×(n－1)d解析：原式可化为(an+2－an+1)－(an+1－an)＝d．令bn＝an+1－an，则

7、bn+1－bn＝d，所以数列{bn}是以b₁＝a₂－a₁＝q－p为首项，以d为公差的等差数列．∴bn＝b₁＋(n－1)d＝q－p＋(n－1)d．即an+1－an＝q－p＋(n－1)d．于是有an－a₁＝(an－an-1)＋(an-1－an-2)＋(an-2－an-3)＋……＋(a₂－a₁)＝[q－p＋(n－2)d]＋[q－p＋(n－3)d]＋[q－p＋(n－4)d]＋……[q－p＋0d]＋n8.◇已知数列{an}中，a₁＝5，满足an＝(11)an-1，求数列{an}的通项公式．5(n＋1)．2nn＋1