北邮概率论与数理统计条件概率.doc

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1、§1.3条件概率条件概率是概率论中的一个基本概念，也是概率论中的一个重要工具，它既可以帮助我们认识更复杂的随机事件，也可以帮助我们计算一些复杂事件的概率。1.条件概率的定义及计算在一个随机试验中或随机现象中，当我们已知一个事件发生了，这时对另外一个事件发生的概率往往需要重新给出度量.称事件的这个新概率为在事件发生的条件下事件发生的条件概率,记为.为了对条件概率有一个直观的认识以及考虑该如何给出条件概率的数学定义,我们先看一个例子.例1一批同类产品由甲、乙两个车间生产，各车间生产的产品数及正品和次品的情况如下表甲车间乙车间合计正品465510975次品151025合计48

2、05201000从这批产品中任取一件，则这件产品是次品的概率为现在假设被告知取出的产品是由甲车间生产的，那么这件产品为次品的概率就不再是，而是在本例中，设表示事件“取出的产品是由甲车间生产的”，表示事件“取出的产品是次品”，前面算出的事件的概率是在没有任可进一步的信息的情况下得到的，而后面算出的事件的概率是在有了“事件发生了”这一信息的情况下得到的.后一个概率就是在事件发生的条件下事件发生的条件概率.与此对应，我们可以把前一个概率称为无条件概率。经过简单计算有这个关系式尽管是从本例得出的，但它具有普遍意义.受由启发,我们可以在一般的样本空间中给出条件概率的数学定义.定义

3、设是样本空间中的两个事件，且，在事件发生的条件下，事件的条件概率定义为根据条件概率的定义，不难验证条件概率满足概率定义中的三条公理：（1）非负性：对任一事件，有；（2）规范性：；（3）可列可加性：设是两两互不相容的事件，则有自然地，条件概率也具有三条公理导出的一切性质.比如,.例2将一骰子掷两次,已知两次的点数之和为6,求第一次的点数大于第二次点数的概率.解:设事件“两次的点数之和为6”,事件“第一次的点数大于第二次点数2”方法一(在缩减的样本空间中计算).在事件发生的条件下,样本空间缩减为在此样本空间中考虑,事件包含个样本点,所以.方法二.,,所以.例对于寿险产品设计

4、而言,需关注不同年龄的人能继续存活若干年的概率.假设根据经验或某种寿命分布理论,人的寿命超过60岁的概率为0.9,超过70岁的概率为0.8.求60岁的人能继续存活10年的概率.思考：1．考虑恰有2个小孩的家庭，从这样的家庭中任选一家，已知这个家有男孩，那么这家两个小孩都是男孩的概率是多少？2．随机地遇到一男孩，并发现他属于两个孩子的家庭，那么他家的另一个小孩也是男孩的概率是多少？3．有3张完全相同的卡片，第一张卡片两面全涂成红色，第二张卡片两面全涂成黑色，第三张卡片一面涂成红色一面涂成黑色.现从3张卡片中随机取1张并放在桌面上,如果朝上的一面是红色,那么另一面是黑色的概

5、率有多大?4.（领奖问题）某人参加了有奖竞答活动,他全过关了,现到领奖阶段,领奖规则是:有三个房间,其中一个房间里放有奖品,而另外二个房间没有奖品,全过关的选手任选一个房间,若房间里有奖品则他获得此奖品,否则没有奖品.现此人选了一房间,在他还没有打开房门时主持人打开了另外二个房门中的一个,结果没有奖品,这时该选手还有重新选择的机会,你认为应该坚持原来的选择还是换一个选择或两者皆可?二.条件概率的应用这里主要介绍涉及条件概率的三个公式:(1)乘法公式;(2)全概率公式;(3)贝叶斯公式.1.乘法公式由条件概率的定义易知上面公式只是条件概率定义的平凡变形,但在具体的概率计算

6、问题中如果都可方便地算出,那么利用上式就可方便地算出.上面公式可推广至多个事件的情形为保证上面公式中涉及到的条件概率有意义,需要前提:.上面公式称为乘法公式.例一个袋有7个球,其中5个红球,2个白球.从中依次取3次球,每次取一个,取后不放回.试求事件“前2次取到红球,最后1次取到白球”的概率。这个问题可推广至Polya罐子模型.例(Polya罐子模型)设一罐子有个黑球,个红球,每次随机地取一个球,取出的球放回罐子中,还加进个同色球和个异色球.记为事件“第次取出的球是黑球”,为事件“第次取出的球是红球”,求,,.Polya罐子模型包含有多种模型.(1)如,则为不放回抽样模

7、型;(2)如,则为放回抽样模型;(3)如,则称为传染病模型;(4)如,则称为安全生产模型.例甲袋子里有个红球,乙袋子里有个黑球,按以下方式操作:从甲袋中随意地取走一个球,然后从乙袋中取出一球放入甲袋中(如果乙袋中还有球的话).一直如此操作直至个球全被取走,求最后取走的是红球的概率,如很大,这个概率近似值是多少?解:设想甲袋中的个红球分别编号.记“最后取走的是号红球”,,则两两互不相容,由对称性知.又记“最后取走的是红球”,则,从而,下面来求.设表示事件“在甲袋中的第次取球没有取走1号红球”，，那么，并且，，…，，.由乘法公式知从而得易见,