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1、§3.1.1变化率问题2013.2.26高二数学(理)选修2-2第一章《导数及其应用》之思考与探究探究：画出函数①y=2x；②y=x；③y=log2x的图像，并观察它们在单调性上的异同。变化率的概念变化率就是某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度。导数要研究的问题变化率问题实际问题(1)我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是：如果将半径r表示为体积V
2、的函数,那么：一、气球的膨胀率(变大的快慢)一、气球的膨胀率(变大的快慢)1.当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为：2.当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为显然0.62>0.16实际问题(1)实际问题(1)一、气球的膨胀率(变大的快慢)1.当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为：3.当V从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率为多少呢？气球半径增加了：实际问题(2)二、高台跳水(在空中速度的快慢)在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后
3、的时间t（单位：秒）存在函数关系：h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?请计算hto实际问题(2)二、高台跳水(在空中速度的快慢)h(t)=-4.9t2+6.5t+10hto在0≤t≤0.5这段时间里,在1≤t≤2这段时间里,平均变化率上述问题中的变化率可用式子表示，此式称为函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率。若设Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1)这里Δx看作是对于x1的一个“增量”则函数的平均变化率为：例1.已知函数f(
4、x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则A到B平均变化率为()A3B3Δx-(Δx)2C3-(Δx)2D3-ΔxD例2.求y=x2在x=x0附近的平均变化率。A到B平均变化率即为x0到(x0+Δx)平均变化率例题讲解2x0+Δx2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在t=4秒附近的平均变化率。A课堂练习平均变化率思考：观察函数f(x)的图象平均变化率表示什么?OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=△xf(x2)
5、-f(x1)=△y直线AB的斜率补充练习过曲线y=f(x)=x3上两点P(1,1)和Q(1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.巩固练习1.在高台跳水中，已知位移关于时间的函数为h(t)=-4.9t2+6.5t+10，求运动员在t=2(秒)附近(t：2→2+△t)的平均速度。你能求出t=2s时刻的瞬时速度吗？瞬时速度1.在高台跳水中，已知位移关于时间的函数为h(t)=-4.9t2+6.5t+10，求运动员在t=2(秒)附近(t：2→2+△t)的平均速度。1)当△t=0.01
6、时，2)当△t=0.001时，3)当△t=0.0001时，4)当△t=0.00001时，5)当△t趋近于0(△t→0)时，……平均速度→瞬时速度我们发现：当
7、△t
8、趋向于0时，在t=2附近的平均速度（h的平均变化率）就趋向于t=2时刻的瞬时速度（h的瞬时变化率）。所以t=2时刻的瞬时速度就是-13.1m/s。我们用表示“当t=2,Δt趋近于0时,平均速度v趋于一个确定的值-13.1”.瞬时速度1.在某一时刻(t=t0)的瞬时速度怎么表示？2.函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率怎么表示？思考与探究我
9、们用表示“当t=2,Δt趋近于0时,平均速度v趋于一个确定的值-13.1”，那么：导数的概念我们把函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率称为函数y=f(x)在x=x0处的导数，记作：课堂小结1.函数的平均变化率2.求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量Δf(x)=Δy=f(x2)-f(x1);(2)计算平均变化率今日作业1.作业本：P1-21~11.实际问题(2)二、高台跳水(在空中速度的快慢)计算运动员在内的平均速度，并回答：1、运动员在此时间段静止吗？2、平均速度有什么缺陷？hto平均速度不
10、能反映这段时间里人的运动状态和某个时刻的瞬时速度
