《变化率的问题》PPT课件

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1、数学选修2--21.1变化率与导数第一章导数及其应用1.1.1变化率问题变化率问题本节重点：函数的平均变化率的概念．本节难点：函数平均变化率的求法．1．Δx是自变量x在x0处的改变量，它可以为正，也可以为负，但不能等于零，而Δy是相应函数值的改变量，它可以为正，可以为负，也可以等于零，特别是当函数为常数函数时，Δy＝0.问题探究【背景材料】在吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加的速度越来越慢.如何从数学的角度描述这种现象？设气球的体积为V（单位：L），某一时刻的半径为r（单位：dm）.当空气容量V从0L增加到1L时，气球的半径增加了多少？可以用哪个数据来刻画气球的平均膨胀

2、率？当空气容量V从1L增加到2L时，气球的半径增加了多少？平均膨胀率是多少？当空气容量V从V1L增加到V2L时，气球的半径增加了多少？平均膨胀率是多少？问题探究运动员在0s到0.5s时段内的平均速度为多少？【背景材料】在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系：h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.问题探究运动员在1s到2s时段内的平均速度为多少？如何计算运动员在t1s到t2s时段内的平均速度？问题探究如何计算运动员在0s到s时段内的平均速度？运动员在该时段内是静止吗？问题探究你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？如果将

3、上述两个问题中的函数关系用y＝f(x)表示，那么平均膨胀率和平均速度可用什么代数式表示？形成结论把式子称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率形成结论习惯上用△x表示x2－x1，用△y表示f(x2)－f(x1)，则平均变化率可以表示为.形成结论那么函数平均变化率的几何意义和物理意义是什么？例1求函数y＝5x2＋6在区间[2，2＋△x]内的平均变化率.20＋5△x.例题讲解例2某盏路灯距离地面高8m，一个身高1.7m的人从路灯的正底下出发，以1.4m/s的速度匀速沿某直线离开路灯，求人影长度的平均变化率.△s1.4△t81.7例题讲解1.1.2导数的概念1.1变化率与导数导数的概念本

4、节重点：导数的定义．本节难点：用导数的定义求函数的导数．【背景材料】在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系：h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.问题探究通过计算运动员在0s到s时段内的平均速度是0.你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？设t＝2时的时间增量为△t，那么运动员在△t时间段的平均速度如何计算？问题探究在t＝2附近的时段内，当时间间隔

5、△t

6、无限变小时，平均速度就无限趋近于一个确定的值－13.1.……………………－13.10000490.000001－13.0999951－0.000001－13.1000

7、490.00001－13.099951－0.00001－13.100490.0001－13.09951－0.0001－13.10490.001－13.0951－0.001－13.1490.01－13.051－0.01△t△t函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是什么？概念生成数学上，函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率叫做函数f(x)在x＝x0处导数，记作f′(x0)或y′

8、x=x0，即概念生成对导数的定义要注意：第一：Δx是自变量x在x0处的改变量，所以Δx可正可负，但Δx≠0；Δy是函数值的改变量，可以为0；第二：函数在某点的导数，就是在该点的函数值改变量与自变量改变量之比的极限．

9、因此，它是一个常数而不是变量；如何求函数f(x)＝x2在x＝1处的导数？新知探究求函数f(x)在x＝x0处的导数有哪几个基本步骤？第一步，求函数值增量：△y＝f(x＋△x)－f(x0)；第二步，求平均变化率：；第三步，取极限，求导数：.概念生成,,分别与f′(x0)有什么关系？新知探究例3将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.如果在第xh时，原油的温度（单位：°C）为f(x)＝x2－7x＋15（0≤x≤8），计算第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.f′(2)＝－3，说明在第2h附近，原油温度大约以3°C/h的速率下降；f′(6)＝5

10、.说明在第6h附近，原油温度大约以5°C/h的速率上升.例题讲解例4求函数在x＝1处的导数.例5已知f′(x0)＝2，求的值.原式＝－1例题讲解1.函数的平均变化率是函数值增量与自变量增量的比值.2.自变量增量△x的值可以是正数，也可以是负数，但△x≠0；函数值增量△y可以为任意实数，当△y＝0时，平均变化率为零.课堂小结3.函数的平均变化率与自变量的初始值及其增量有关，它能刻画函数在某个区间内函数值的平均取值情况，但不能反映函数在区间内各点的