同余的 概念与性质ppt课件.ppt

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1、第三章同余与同余式第一部分同余概念与性质§3.1同余的概念§3.2同余的性质§3.3同余的应用第三章同余与同余式在日常生活中,有时我们注意的常常不是某些整数,而是这些整数用某一个固定的整数去除所得到的余数.例如本月2日是星期3,那么9日,16日,…都是星期3,这是因为它们用7除后得到的余数都是2.在我国古代的干支纪年也是这样的,它是以60作为除数的纪年法.这样,在数学中就产生了同余的概念.同余概念是Gauss在1800年前后创立的.§3.1同余的概念定义　假定两个整数a,b对于正整数m，有a＝mq1+r1,(0≤r1

2、们就称a与b对(关)于模m同余,用符号表示为a≡b(modm)或a≡b(m).假定上面的r1≠r2,我们就说两个整数a与b关于模m不同余,用符号a≡b(modm)或a≡b(m)表示.　　例如,31≡9(mod11),31≡9(mod10).由上例可知，同样的两个数关于不同的模同余关系可能不相同．例3.2求证：(1)如果a除以m的余数为r(0≤r

3、据同余概念，可得a≡r(modm);(2)因为a≡r(modm)，所以由同余概念可得·a＝mq1+R,r＝mq2+R，(0≤R

4、这里k为整数．证明：由a≡b(modm)，得a＝mq1+r，b＝mq2+r，(0≤r

5、(a－b)。证明：∵a≡b(modm)∴a＝mq1+r，b＝mq2+r，(0≤r

6、(a－b)。设a＝mq1+r1,(0≤r1

7、2)+(r1－r2)，因为m

8、(a－b).所以m

9、(r1－r2)，而0≤r1

10、r1－r2

11、

12、r1－r2

13、≥0，所以只有r1－r2＝0，即r1＝r2所以a≡b(modm)推论推论1如果m

14、(a－b)，那么a≡b(modm)推论2a≡b(modm)的必要且充分条件是存在整数k，使得a＝b+km(modm)．(这里是等号不是同余号)定理3.1及推论2都是同余的必要且充分条件，因此也可以把它们作为同余的定义:如果a－b能被m整除，我们就说a与b对于模m同余．同余的这个定义与前一个定义是等价的，也就是说，既能从前面一个定义推出这个定义，也能从这个定义推出前一个

15、定义(读者可自行证明)．今后讨论与同余定义有关的问题时，灵活选用其中一个，可以使讨论简便．例3.4用同余式表示下面的说法：(1)45，94被7除，余数都是3;(2)数a与15之差能被17整除;例3.5求证：若a≡b(modm)，则a≡b+km(modm)，这里k为任意整数．证明:因为a≡b(modm)，所以m

16、(a－b)，因此m

17、[(a－b)－km]，即m

18、[a－(b＋km)]，所以a≡b+km(modm)．(3)171＝15+13X12;(4)数b被15除余4．例3．3与例3．5的启示在同余式的左右两边中，把一个数换成与这个数同余的数(a换成a+km,b换成b+km),同余式仍成

19、立.例3．3与例3．5的比较:⑴a+km≡b(modm)并非理所当然地就有b≡a+km(modm),仅当关系满足自反律时才能成立.⑵前者根据同余的定义证明的,而后者是应用定理3.1证明的.也就是说,在同余式的左边或右边,可以加上模的任意整数倍km,就象加零一样,即它与等式性质”在等式的左边或右边加上零,等式不变”是类似的.§3.2同余的性质1.同余的基本性质:在数学中,具有自反律, 对称律,  传递律的关系称之为等价关系.同余关系就是一种等价关系.也就是说,由同余的定