同余的概念及其基本性质

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1、学院学术论文题目:同余的概念及其基本性质学号：学校：专业：班级：姓名：指导老师：时间：摘要：初等数论是研究数的规律，特别是整数性质的数学分支。它以算术方法为主要研究方法，在日常生活中，我们所要注意的常常不是某些整数，而是这些数用某一固定的数去除所得的余数。同余概念的产生可以说大大丰富了数学的内容。同余是数论中的一个基本概念，同余的应用，一：检查因数的一些方法；二：弃九法。在本专题的学习中，培养我分析推理解决问题的能力，理解问题的实质。关键字：同余整数算术Summary：Thenumberofelementarynumbertheoryistostudythelaw,inpar

2、ticularintegernatureofthebranchofmathematics.Itarithmeticmethodasthemainresearchmethodsintheirdailylives,weareoftennottopayattentiontosomeinteger,butthesenumberswithafixedanumberofremovalfromtheremainder.Icreatedtheconceptofthesamecanbesaidtohavegreatlyenrichedthecontentofmathematics.Number

3、theorycongruenceisabasicconceptoftheapplicationwithmorethanone:Checkfactorofsomeoftheways;2:abandonedninelaw.Inthetopicofstudy,trainingmyanalysisreasoningabilitytosolveproblems,understandtheessenceoftheproblem.Keyword：CongruenceIntegerArithmetic  引言数论是研究整数性质的一门学科，它是数学中最古老的分支之一，内容极为丰富，曾被数学家说

4、成是数学的皇后。历史表明，每一个重大的数论课题；都是在吸收了当时最新的数学成果，创造成了极深刻地新方法之后，才获得进展的，反过来，数论研究的进展也促进了数学其他分支的发展，因此数论中的许多问题都受到了大批杰出的数学家的重视。初等数论已经有2000年的历史，公元前300年，欧几里得发现了素数是数论的基石，他自己证明了有无穷多个素数。公元前250年古希腊数学家埃拉托塞尼发明了一种筛法。2000年来，数论学的一个最重要的任务，就是寻找一个可以表示所有素数的统一公式，或者称为素数普遍公式，为此，人类耗费了巨大的心血。後来发现埃拉托塞尼筛法可以转换成为一个素数产生的公式：同余的基本性质

5、定义1：给定正整数m，如果整数a与b之差被m整除，则称a与b对于模m同余，或称a与b同余，模m，记为aºb(modm)，此时也称b是a对模m的同余。如果整数a与b之差不能被m整除，则称a与b对于模m不同余，或称a与b不同余，模m，记为ab(modm)。3]由定义立刻可以得到下列三个性质：甲a≡b(modm)乙若a≡b（modm），则b≡a(modm)，丙若a≡b(modm)，b≡c(modm)，则a≡c(modm).下面的三个叙述是等价的：(ⅰ)aºa(modm)；(ⅱ)aºb(modm)Þbºa(modm)；(ⅲ)aºb，bºc(modm)Þaºc(modm)。定理1整数a

6、，b对模m同余的充分与必要条件是m∣a-b,即a=b+mt，t是整数.证明：设a=m+，b=m+，0≤

7、      (对称性)   3° 若,(modm),则(modm)         (传递性)   4° 若,(modm),则         (modm)         (modm)            (modm)证明：4°   a=b+m，=+m，因此a+=b++m（+）,即得 (modm)同理可证   (modm)若a=b+m，=+m.因此a=b+m(b++m).故    (modm)参考文献5]定理2:设a、b、c、d为整数，m为正整数，若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则：(1)