自主招生数学及历年试题.doc

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1、自主招生数学讲义分配编号内容负责人1数列递推公式，求数列通项邵宏宏2数列求和邵宏宏3数学归纳法孙雁4杂数列季风5三角恒等变换孙雁6三角不等式王敏杰7抽象函数倪国红8函数与方程张宇9函数图像张宇10向量综合倪国红11直线与圆黄润育12圆锥曲线周延军13参数方程、极坐标周延军14立体几何季风15复数综合黄润育16组合杂题王敏杰说明：1．建议大家参考发给大家的自主招生试题集，主要是复旦、交大等的试题，挑选相应内容的中等或中等偏上试题；2．讲义格式，试题数量参考发给大家的讲义范例；3．时间上要求在国庆后交初稿

2、大学自主招生数学简明讲义第一讲递推数列求通项3第二讲数列求和8第三讲数学归纳法11第四讲数列杂题16第五讲三角恒等变换19第六讲三角不等式24第七讲函数性质29第八讲函数与方程32第九讲函数性质35第十讲向量综合38第十一讲直线与圆38第十二讲圆锥曲线50第十三讲参数方程、极坐标50第十四讲立体几何51第十五讲复数综合56第十六讲组合杂题57第一讲递推数列求通项一、公式法例1、已知无穷数列的前项和为，并且，求的通项公式？反思：利用相关数列与的关系：,与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键.二、归纳

3、猜想法：由数列前几项用不完全归纳猜测出数列的通项公式，再利用数学归纳法证明其正确性，这种方法叫归纳法.例2、已知数列中，，，求数列的通项公式.【解析】：，，，猜测，再用数学归纳法证明.（略）反思：用归纳法求递推数列，首先要熟悉一般数列的通项公式，再就是一定要用数学归纳法证明其正确性.三、累加法：利用求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如的递推数列通项公式的基本方法（可求前项和）.例3、已知无穷数列的的通项公式是，若数列满足，，求数列的通项公式.反思:用累加法求通项公式的关键是将递推公式变形为。四、

4、累乘法:利用恒等式求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如:的递推数列通项公式的基本方法(数列可求前项积)。反思:用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为.五、构造新数列（待定系数法）:将递推公式（为常数，，）通过与原递推公式恒等变成的方法叫构造新数列，也即是待定系数法。例5、已知数列中,,,求的通项公式.反思：构造新数列的实质是通过来构造一个我们所熟知的等差或等比数列.六、倒数变换：将递推数列,取倒数变成的形式的方法叫倒数变换。然后就转变为第五种情况，此时将数列看成一个新的数列，即再利用“构造新

5、数列”的方法求解。例6、已知数列中,,,求数列的通项公式.反思:倒数变换有两个要点需要注意:一是取倒数.二是一定要注意新数列的首项,公差或公比变化了。七、特征根法：形如递推公式为（其中p，q均为常数）。对于由递推公式，有给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。例7:数列满足，,求反思：本题解题的关键是先求出特征方程的根。再由初始

6、值确定出A,B的用已知量a,b表示的值，从而可得数列的通项公式。八、不动点法若A,B且AD-BC，解,设为其两根I、若，数列是等比数列；II、若，数列是等差数列。例8、已知数列满足，求数列的通项公式。反思：本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的根，进而可推出，从而可知数列为等差数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式。九、换元法即是将一复杂的整体用一个新的符号来表示，从而使递推数列看起来更简单，更易找到解决的方法。例9、已知数列满足，求数列的通项公式。反思：本题解题的关键是通过将的换元

7、为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。十、取对数法：形如这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用构造新数列（待定系数法）求解。例10：已知数列｛｝中，，求数列。十一、周期型：由已知递推式计算出前几项，寻找周期。此题型一般是在不能运用以上各种方法的情况下可考虑到这种方法，具有一定的探索性，虽然比较简单，但也是一种很重要的数学思想，需要好好掌握。例11：若数列满足，若，则的值为___________。反思：此题的关键在于观察递推数列的

8、形式，取一些特定的n的值，求出数列的前几项的值，从而找到其周期，这样问题就迎刃而解了。第二讲数列求和1.公式法等差数列前n项和：特别的，当前n项的个数为奇数时，，即前n项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算。等比数列前n项和：q=1时，，特别要注意对公比的讨论。其他公式：1、2、3、[例1]已知，求的前n项和.[例2]设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值.1.错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法