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1、微分方程的机动目录上页下页返回结束习题课解法及应用第八章一、一阶微分方程求解1.一阶标准类型方程求解关键:辨别方程类型,掌握求解步骤2.一阶非标准类型方程求解(1)变量代换法——代换自变量代换因变量代换某组合式(2)积分因子法——选积分因子,解全微分方程四个标准类型:可分离变量方程,齐次方程,线性方程,全微分方程机动目录上页下页返回结束例1.求下列方程的通解提示:(1)故为分离变量方程:通解机动目录上页下页返回结束方程两边同除以x即为齐次方程,令y=ux,化为分离变量方程.调换自变量与因变量的地位,用线性方程通解公式求解.化为机动目录上页下页返回结
2、束方法1这是一个齐次方程.方法2化为微分形式凑微分法.机动目录上页下页返回结束例2.求下列方程的通解:提示:(1)令u=xy,得(2)将方程改写为(贝努里方程)(分离变量方程)原方程化为机动目录上页下页返回结束(齐次方程)令t=x–1,则化方程为机动目录上页下页返回结束变方程为两边乘因子用凑微分法得通解:机动目录上页下页返回结束例3.机动目录上页下页返回结束设F(x)＝f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(－∞,+∞)内满足以下条件:(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;(03考研)(2)求出F(x)的表达式.解:(1)所以F(x)满足的
3、一阶线性非齐次微分方程:机动目录上页下页返回结束(2)由一阶线性微分方程解的公式得于是例求微分方程y’+y=g(x)满足y(0)=0的解，其中解：(exy)’=g(x)ex通解：y=e-x(G(x)+C)二、两类二阶微分方程的解法1.可降阶微分方程的解法—降阶法令令逐次积分求解机动目录上页下页返回结束2.二阶线性微分方程的解法常系数情形齐次非齐次特征方程法欧拉方程小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程;（2）求出特征根;（3）例求以为通解的微分方程.例:由通解式可知特征方程的根为故特征方程为因此微分方程为例求下列微分方
4、程的通解提示:(6)令则方程变为机动目录上页下页返回结束特征根:齐次方程通解:令非齐次方程特解为代入方程可得原方程通解为特征根:例.求微分方程提示:故通解为满足条件解满足处连续且可微的解.设特解:代入方程定A,B,得得机动目录上页下页返回结束处的衔接条件可知,解满足故所求解为其通解:定解问题的解:机动目录上页下页返回结束例.且满足方程提示:则问题化为解初值问题:最后求得机动目录上页下页返回结束思考:设提示:对积分换元,则有解初值问题:答案:机动目录上页下页返回结束的解.例.设函数内具有连续二阶导机动目录上页下页返回结束(1)试将x＝x(y)所满足的
5、微分方程变换为y＝y(x)所满足的微分方程;(2)求变换后的微分方程满足初始条件数,且解:上式两端对x求导,得:(1)由反函数的导数公式知(03考研)机动目录上页下页返回结束代入原微分方程得①(2)方程①的对应齐次方程的通解为设①的特解为代入①得A＝0,从而得①的通解:题目录上页下页返回结束由初始条件得故所求初值问题的解为例有特而对应齐次方程有解微分方程的通解.解:故所给二阶非齐次方程为方程化为.设二阶非齐次方程一阶线性非齐次方程机动目录上页下页返回结束故再积分得通解复习:一阶线性微分方程通解公式机动目录上页下页返回结束例.(1)验证函数满足微分方
6、程(2)利用(1)的结果求幂级数的和.解:(1)机动目录上页下页返回结束(02考研)所以(2)由(1)的结果可知所给级数的和函数满足其特征方程:特征根:∴齐次方程通解为设非齐次方程特解为代入原方程得故非齐次方程通解为机动目录上页下页返回结束代入初始条件可得故所求级数的和机动目录上页下页返回结束三、微分方程的应用1.建立数学模型—列微分方程问题建立微分方程(共性)利用物理规律利用几何关系确定定解条件(个性)初始条件边界条件可能还要衔接条件2.解微分方程问题3.分析解所包含的实际意义机动目录上页下页返回结束例.设河边点O的正对岸为点A,河宽OA=h,一
7、鸭子从点A游向点为平行直线,且鸭子游动方向始终朝着点O,提示:如图所示建立坐标系.设时刻t鸭子位于点P(x,y),设鸭子(在静水中)的游速大小为b求鸭子游动的轨迹方程.O,水流速度大小为a,两岸则则鸭子游速b为定解条件由此得微分方程即鸭子的实际运动速度为(齐次方程)机动目录上页下页返回结束例.已知某曲线经过点(1,1),轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程.提示:设曲线上的动点为M(x,y),令X=0,得截距由题意知微分方程为即定解条件为此点处切线方程为它的切线在纵机动目录上页下页返回结束例.已知某车间的容积为的新鲜空气问每分钟应输入多少才能在3
8、0分钟后使车间空的含量不超过0.06%?提示:设每分钟应输入t时刻车间空气中含则在内车间内两端除以并令与原有空气很快混合均
