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1、第7章多元函数微分法一主要内容二典型例题1、多元函数一、主要内容2、多元函数的极限3、多元函数的连续性4、偏导数5、全微分多元函数连续、可导、可微的关系偏导数连续函数连续函数可微函数可偏导6、复合函数求导法则7、隐函数的求导法则8、微分法在几何上的应用9、方向导数和梯度10、多元函数的极值5例求极限解其中用夹逼定理.所以二、典型例题6(2)在原点(0,0)是否可微.例同样,设函数解特别是极限不存在.即fx(x,y)在原点(0,0)不连续.fy(x,y)在原点(0,0)也不连续.同理可证,8即函数f(x,y)在原点(0,0)可微.偏导
2、数不一定连续.(2)例解例解解例法13个方程,4个变量的方程组,确定了3个1元函数:方程组两边对x求导解法2方程组两边微分,得16研究生考题,计算,5分解法一得得练习两边求全微分,两边求全微分,17法二用公式:所以解例把v看成常数，u看成变量，得到曲面上的u曲线同理,把u看成常数,v看成变量，得到曲面上的v曲线沿梯度方向的方向导数为最大方向导数,其值为梯度的模.解则设曲面上的任意点为且在此点的法向量上的任意一点处的切平面都过原点.例则切平面方程为:显然,(0,0,0)满足切平面方程上的任意一点处的切平面都过原点.例解拉格朗日乘数法.
3、法1得即得唯一驻点根据题意距离的最小值一定存在,且有故必在取得最小值.唯一驻点,设P(x,y,z)为旋转抛物面法向量上的任一点.法228解为此作拉格朗日函数:上的最大值与最小值.在圆内的可能的极值点;在圆上的最大、最小值.例29最大值为最小值为30设有一小山,取它的底面所在的平面为xOy坐标小山的高度函数为(1)设M(x0,y0)为区域D上一点,问h(x,y)在该点若记此方向导数的最大值为g(x0,y0),试写出g(x0,y0)的表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在是说,要在D的边界线上找出使(1)中的g(x,y)达
4、到最大值的点.试确定攀岩起点的位置.也就面,其底部所占的区域为沿平面上什么方向的方向导数最大?山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点.例31解(1)由梯度的几何意义知,方向的h(x,y)在点M(x0,y0)处沿梯度方向导数的最大值为该梯度的模,所以(2)令由题意,只需求f(x,y)在约束条件下的最大值点.令方向导数最大,32则(1)(2)(3)(1)+(2):从而得由(1)得再由(3)得由(3)得于是得到4个可能的极大值点可作为攀登的起点.例例练习题DBBCA
