微积分学 P.P.t 标准课件35-第35讲一阶微分方程.ppt

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1、高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学大学数学（一）第三十讲一元微积分的应用(六)脚本编写：刘楚中教案制作：刘楚中——微积分在物理中的应用第七章常微分方程本章学习要求：了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念.了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利（Bernoulli）方程和全微分方程.熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的解法.会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程.知道下列高阶方程的降阶法：了解高阶线性微分方程阶的结构，并知道高阶常系数齐线性微分方程的解法.熟练掌握二阶常系数齐线性微

2、分方程的解法.掌握自由项（右端）为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐线性微分方程的解法.第二节一阶微分方程变量可分离方程齐次方程可化为齐次方程的方程一阶线性齐方程一阶线性非齐方程伯努利方程变量代换变量代换变量分离常数变易变量代换变量可分离方程齐次方程一阶线性齐方程一阶线性非齐方程伯努利方程变量代换变量代换变量分离常数变易变量代换变量可分离方程可化为齐次方程的方程一、变量可分离方程如果一阶微分方程可以化为下列形式：则称原方程为变量可分离的方程。运用积分方法即可求得变量可分离方程的通解：其中C为积分后出

3、现的任意常数。将一个方程化为变量分离方程并求出其通解的过程，称为分离变量法。例解原方程即对上式两边积分，得原方程的通解例解对上式两边积分，得原方程的通解隐函数形式经初等运算可得到原方程的通解为你认为做完了没有？原方程的解为例解两边同时积分，得故所求通解为你认为还需要讨论吗？为什么？因为只求通解，所以不必再讨论了。例解原方程即两边积分，得故通解为曲线族的包络。工程技术中解决某些问题时，需要用到方程的奇解。二、齐次方程齐次方程变量分离方程变量代换代入原方程，得例解于是，原方程化为两边积分，得即三、可化为齐次方程的方程齐次方程可化为齐次方程

4、的方程变量代换变量分离方程变量代换三、可化为齐次方程的方程齐次方程可化为齐次方程的方程变量代换变量分离方程变量代换例解于是，原方程变为联立方程组解之，得可化为齐次方程的可化为齐次方程的两边积分，得即你由这个例题的解题过程想到什么了？可化为齐次方程的方程变量可分离方程齐次方程可化为齐次方程的方程一阶齐线性方程一阶非齐线性方程伯努利方程变量代换变量代换变量分离常数变易变量代换四、一阶线性微分方程形如的方程称为一阶线性微分方程。方程称为一阶齐线性方程。方程称为一阶非齐线性方程。习惯上，称为方程所对应的齐方程。一阶齐线性方程的解运用分离变量法

5、，得两边积分，得故表示一个原函数的解存在，且唯一，其通解为例解故该一阶齐线性方程的通解为套公式！例解先求此一阶齐线性方程的通解：故该初值问题的解为变量可分离方程齐次方程可化为齐次方程的方程一阶齐线性方程一阶非齐线性方程伯努利方程变量代换变量代换变量分离常数变易变量代换一阶非齐线性方程的解比较两个方程：请问，你有什么想法？请问，你有什么想法？我想：它们的解的形式应该差不多。但差了一点什么东西呢？行吗?!怎么办？故即上式两边积分，求出待定函数以上的推导过程称为“常数变易法”。这种方法经常用来由齐次问题推出相应的非齐次问题、由线性问题推出相

6、应的非线性问题。例解所以，方程的通解为例解不是线性方程原方程可以改写为这是一个以y为自变量的一阶非齐线性方程，其中故原方程的通解为变量可分离方程齐次方程可化为齐次方程的方程一阶齐线性方程一阶非齐线性方程伯努利方程变量代换变量代换变量分离常数变易变量代换五、伯努利方程形如的方程称为伯努利方程。代入伯努利方程后，可将其化为一阶线性微分方程于是，原方程的通解为例解故从而，原方程的通解为变量可分离方程齐次方程可化为齐次方程的方程一阶齐线性方程一阶非齐线性方程伯努利方程变量代换变量代换变量分离常数变易变量代换变量可分离方程齐次方程可化为齐次方程

7、的方程一阶齐线性方程一阶非齐线性方程伯努利方程变量代换变量代换变量分离常数变易变量代换例解变量代换原方程即于是，原方程化为运用分离变量法，解得故原方程的通解为不是讲过的类型