数值分析第2章6-8节ppt课件.ppt

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1、2.6分段低次插值2.6.1高次插值的病态性质在次数增加时逼近的精度是否也增加?问题：根据区间上给出的节点做出的插值多项式1例：考虑函数，它在上的各阶导数均存在.所构造的拉格朗日插值多项式为取上的个等距节点令则2表2-5列出了时的的计算结果及在上的误差图2-5问题：从表和图中的结果你发现了什么？3从图上看到，在附近,与偏离很远，这说明用高次插值多项式近似效果并不好.解决办法：不用高次插值，改用分段低次插值.表中，随的增加，的绝对值几乎成倍增加.这说明当时在上是不收敛的.问题：如何克服龙格现象呢？上述现象称为龙格

2、现象。42.6.2分段线性插值由于升高插值多项式的阶数有时并不能达到提高精度的效果,所以实际中往往采用分段插值的思想.分段插值的基本思想是将插值区间划分为若干个小区间,然后在每个小区间上做满足一定条件的低阶插值.5设已知节点上的函数值记求一折线函数,满足：在每个小区间上是线性函数.则称为分段线性插值函数.所谓分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来逼近6由定义可知在每个小区间上可表示为(6.1)若用插值基函数表示，则在整个区间上为(6.2)其中基函数满足条件其形式是(6.3)7利用线性插值余项公式,得到分段线

3、性插值的误差估计则(6.4)其中892.6.3分段三次埃尔米特插值分段线性插值函数的导数是间断的，若在节点上除已知函数值外还给出导数值在每个小区间上是三次多项式.插值函数，这样就可构造一个导数连续的分段满足条件设则当时，在上一致收敛于.定理2102.7三次样条插值问题：1.为什么引进分段低次插值？2.分段线性和分段二次插值有何特点？3.分段Hermite插值有何特点？4.是否有办法在只给出函数值的情况下，构造出一个具有较高整体光滑度（如二阶导数连续）的低次插值函数呢？112.7.1三次样条函数上是三次多项式，其

4、中是给定节点，若函数且在每个小区间则称是节点上的三次样条函数.若在节点上给定函数值（7.1）则称为三次样条插值函数.定义4并成立12由于在每个小区间上有4个待定系数，共有个小区间，所以共有个待定参数.由于在上二阶导数连续，所以在节点处应满足连续性条件这些共有个条件，再加上本身还要满足的个插值条件，共有个条件，还需要2个才能确定.（7.2）13通常可在区间端点上各加一个条件1.已知两端的一阶导数值，即（7.3）（7.5）称为自然边界条件.2.已知两端的二阶导数，即其特殊情况为（7.4）（7.5）’常见的边界条件有

5、以下3种：（称为边界条件），14此时插值条件（7.1）中.这样确定的样条函数称为周期样条函数.这时边界条件应满足（7.6）3.当是以为周期的周期函数时，则要求也是周期函数.152.7.2样条插值函数的建立下面利用的二阶导数值表示.由于在区间上是三次多项式，故在上是线性函数，（7.7）对积分两次并利用及，可表示为可定出积分常数，于是得三次样条表达式方法一：利用Lagrange插值多项式求16这里是未知的.（7.8）17为了确定,对求导得（7.9）利用和边界条件可得Mj.同理可得：18方法二：利用Hermite插值

6、多项式求下面利用的一阶导数值表示.故在区间上应满足于是由Hermite插值多项式得三次样条表达式：19有n+1个mi需确定，利用二阶导数连续及边界条件来确定。20试求三次样条函数，使它满足边界条件例5设为定义在上的函数，在节点上的值如下：21求解得由此得矩阵形式的方程组如下：解22代入（7.8）得曲线见图2-6图2-623给定函数节点用三次样条插值求取直接上机计算可求出在表2-6所列各点的值.例62425现将三种插值结果画在一起：262.7.3误差界与收敛性定理4则有估计式其中设为满足第一种或第二种边界条件的三

7、次样条函数，令27这个定理不但给出了三次样条插值函数的误差估计.还说明了当时，及其一阶导数和二阶导数均分别一致收敛于，及28补充练习：1、依据如下函数值表建立不超过三次的Lagrange插值多项式及Newton插值多项式，并验证插值多项式的惟一性。2、在下列函数值表中选择合适的节点，分别通过线性、二次、三次插值多项式近似计算的值。29.3、已知由数据（0,0),(0.5,y),(1,3)和(2,2)构造出的三次插值多项是6，试确定数据y４、用下表数据求方程　　　　　　　解的近似值。５、已知关于互异节点　　　的多

8、项式若有　　　　　　成立，试证明：.306、设是关于互异节点的Lagrange插值函数，试证明：7、试用的插值多项式318、利用下表数据的Newton向前插值公式以及Newton向后插值公式计算近似值。9、利用下表数据建立不超过3次的插值多项式及其插值误差估计。3210、利用差分的性质证明：11、试建立的三次样条插值函数，附加边界条件为计算样条函数在[0，1]上的定积分值，用样条函数的