数值分析课件第8章3-4节.ppt

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1、8.3豪斯霍尔德方法8.3.1引言本节讨论两个问题（1）用初等反射阵作正交相似变换约化一般实矩阵为上海森伯格阵.（2）用初等反射阵作正交相似变换约化对称矩阵为对称三对角阵.于是，求原矩阵特征值问题，就转化为求上海森伯格阵或对称三对角阵的特征值问题.18.3.2用正交相似变换约化一般矩阵为上海森柏格阵设.我们的目标是选择初等反射阵，使经正交相似变换约化为一个上海森伯格阵.2（1）设选择初等反射阵其中，不妨设,否则这一步不需要约化.使3（3.1）令其中则4其中5(2)第步约化：重复上述过程，设对已完成第1步，…，第步正交相似

2、变换或即有且6其中为阶上海森伯格阵，设，于是可选择初等反射阵使，其中,计算公式为7（3.2）令则8（3.3）其中为阶上海森伯格阵.第步约化只需计算及.当为对称阵时，只需计算.9总结上述讨论，有下面定理.（3）重复上述过程，则有10定理17则存在初等反射阵使算法1设，本算法计算(上海森伯格型)，其中为初等反射阵的乘积.(1)计算初等反射阵使（豪斯霍尔德约化矩阵为上海森伯格阵）设（豪斯霍尔德约化矩阵为上海森伯格型）11(2)约化计算本算法约需要次乘法运算，要明显形成还需要附加次乘法.12例7矩阵约化为上海森伯格阵.用豪斯霍尔德

3、方法将解使，选取初等反射阵其中(1)计算13则有(2)约化计算令14则158.3.3用正交相似变换约化对称阵为对称三对角阵定理18（豪斯霍尔德约化对称阵为对称三对角阵）设为对称矩阵，使则存在初等反射阵16证明由上面讨论可知，当为对称阵时,由的一步约化计算中只需计算及.又由于的对称性，故只需计算的对角线以下元素.注意到由定理17，存在初等反射阵使且也是对称阵，因此，为对称三对角阵.为上海森伯格阵,17引进记号则18算法2（豪斯霍尔德约化对称阵为对称三对角阵）的对角元存放在数组内.的次对角元素存放在数组内.数组最初可用来存放及

4、，确定中向量的分量存放在的相应位置.冲掉，约化的结果冲掉，数组的上部分元素不变.设为对称阵，本算法确定初等反射阵使为对称三对角阵.19如果第步不需要变换则置为零.2021对对称阵用初等反射阵正交相似约化为对称三对角阵大约需要次乘法.228.4QR方法8.4.1QR算法QR方法是一种变换方法，是计算一般矩阵（中小型矩阵）全部特征值问题的最有效方法之一.QR方法主要用来计算：（1）上海森伯格阵的全部特征值问题，（2）计算对称三对角矩阵的全部特征值问题，且QR方法具有收敛快，算法稳定等特点.23设，且对进行QR分解，即对于一般矩

5、阵（或对称矩阵），首先用豪斯霍尔德方法将化为上海森伯格阵（或对称三对角阵），然后再用QR方法计算的全部特征值.其中为上三角阵，为正交阵.显然，是由经过正交相似变换得到，因此与特征值相同.于是可得到一个新矩阵24再对进行QR分解，又可得一个新的矩阵，重复这一过程可得到矩阵序列：设将进行QR分解作矩阵求得后将进行分解形成矩阵QR算法，就是利用矩阵的QR分解，按上述递推法则构造矩阵序列的过程.25只要为非奇异矩阵，则由QR算法就完全确定.定理19设.构造QR算法：记则有（1）相似于，即（2）（3）的QR分解式为（基本QR方法）（

6、4.1）26证明用归纳法，显然，当时有，设有分解式于是其中利用了（1）,（2）显然，下面证（3）.27由第5章定理30或定理31知，将进行QR分解，即将用正交变换（左变换）化为上三角矩阵其中,故这就是说可由按下述方法求得：（1）左变换(上三角阵）；（2）右变换28定理20设.(1)如果的特征值满足：；(2)有标准型其中，（QR方法的收敛性）且设有三角分解(为单位下三角阵，为上三角阵.则由QR算法产生的本质上收敛于上三角矩阵，即29若记，则（4.2）当时极限不一定存在.（4.3）30定理21如果对称矩阵满足定理20的条件，则

7、由QR算法产生的收敛于对角阵.关于QR算法收敛性的进一步结果有：设，且有完备的特征向量集合，如果的等模特征值中只有实重特征值或多重复的共轭特征值，则由QR算法产生的本质收敛于分块上三角矩阵（对角块为一阶和二阶子块）且对角块中每一个2×2子块给出的一对共轭复特征值，每一个一阶对角子块给出的实特征值，即31其中，为2×2子块，它给出的一对共轭特征值.32则元素将以收敛因子线性收敛于零，8.4.2带原点位移的QR方法定理20中的速度依赖于比值，当很小时，收敛较快.如果为的一个估计，且对运用QR算法，为了加速收敛，选择数列，按下述

8、方法构造矩阵序列，称为带原点位移的QR算法.设元素将比在基本算法中收敛更快.33对进行QR分解形成矩阵求得后，将进行QR分解（4.4）形成矩阵（4.5）若令，则有，并且矩阵有QR分解式34在带位移QR方法中，每步并不需要形成和，可按下面的方法计算：首先用正交变换（左变换）将化为上三角阵，即当为上海森伯格