2015-2016学年北京市西城区普通中学高二下学期6月期末模拟课堂测试数学(理科1)试卷.doc

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1、北京市西城区普通中学2016年6月期末模拟课堂测试高二数学（理科）试卷本试卷共50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上.1.已知（为虚数单位），则________.12.曲线在点处切线的斜率为___________.3.曲线与直线所围成图形的面积为__________.4.设函数的图象为曲线，直线与曲线相切于点.则_________；函数的解析式为_______________.，xyO5.函数的图象如图所示，且在与处取得极值，给出下列判断：①；②；③函数在区间上是增函数.其中正确的判断是___

2、_____.（写出所有正确判断的序号）②③二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.6.（本小题满分8分）已知数列中，，.计算的值，根据计算结果，猜想的通项公式，并用数学归纳法进行证明.7.（本小题满分10分）已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）若定义在区间上的函数对于区间上的任意两个值、总有不等式成立，则称函数为区间上的“凹函数”.试证明：当时，为“凹函数”.8.（本小题满分12分）已知函数，（，为自然对数的底数，）．（1）当时，求函数的值域；（2）若对于任意的，都存在，使得，求的取值范围．

3、参考答案及评分标准一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分（一题两空的题目每空2分）.1.;2.;3.;4.，;5.②③.（注：②③选对一个命题得两分。选出错误的命题即得零分）.二、解答题：本大题共3小题，共26分.（如有其他方法，仿此给分）6.（本小题满分8分）解：根据已知，，猜测.………………3分证明：①当时，由已知，左边，右边，猜想成立.………………4分②假设当时猜想成立，即，………………5分那么，，………………7分所以，当时，猜想也成立.根据①和②，可知猜想对于任何都成立.………………8分7.（本小题满分10分）解

4、：（1）当时，函数在上是增函数；………………1分由已知，，，………………3分当时，，函数在上是增函数；………………4分当时，解得，解得，所以函数在上是增函数，在上是减函数.………………5分综上，当时，函数在上是增函数；当时，函数在上是增函数，在上是减函数.（2）当时，由（1）知在上的最大值为，即恒成立.所以，.……………6分设，计算，，因为，所以，，………………8分，所以，…………10分所以，即当时，为“凹函数”.8.（本小题满分12分）解：（1）由已知，，，………………2分在区间上，，函数为增函数，在区间上，，函数为减函数，所以

5、，在区间上，函数的最大值为，又，，所以的最小值为.所以在区间上的值域为.………………4分（2）设函数在区间上的值域为，根据题意，若对于任意的，都存在，使得，即.……………5分①当时，，在区间上的值域，符合题意；………………6分由已知，………………7分②当时，在上，，为增函数，在区间上的值域，即，因为，所以符合题意；………………8分③当时，，在上，，为增函数，在区间上的值域，即，因为，所以，，比较与，即比较与，因为，所以，所以.所以，根据题意，需，解得.所以；………………10分④当时，，在上，，为增函数，在上，，为减函数，在区间上的

6、最大值为，以下比较与，由于，所以，不符合题意.………12分综上，实数的取值范围为.