2016版高考数学大二轮总复习专题八系列4选讲第2讲.docx

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1、第2讲　矩阵与变换1．(2015·福建)已知矩阵A＝，B＝.(1)求A的逆矩阵A－1；(2)求矩阵C，使得AC＝B.　　　　　2．(2015·江苏)已知x，y∈R，向量α＝是矩阵A＝的属于特征值－2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值．　　　　本讲从内容上看，主要考查二阶矩阵的基本运算，考查矩阵的逆运算及利用系数矩阵的逆矩阵求点的坐标或曲线方程等，一般以基础题目为主，难度不大.又经常与其他知识结合，在考查基础知识的同时，考查转化与化归等数学思想，以及分析问题、解决问题的能力.热点一　常见矩阵变换的应用1．矩阵乘法的定义一般地，我们规定行矩阵[a11，a12]与

2、列矩阵的乘法规则为[a11，a12]＝[a11b11＋a12b21]，二阶矩阵与列矩阵的乘法规则为＝.说明：矩阵乘法MN的几何意义为对向量的连续实施的两次几何变换(先TN后TM)的复合变换．一般地，对于平面上的任意一个点(向量)(x，y)，若按照对应法则T，总能对应唯一的一个平面点(向量)(x′，y′)，则称T为一个变换，简记为T：(x，y)→(x′，y′)或T：→.2．几种常见的平面变换(1)恒等变换；(2)伸缩变换；(3)反射变换；(4)旋转变换；(5)投影变换；(6)切变变换．例1　已知曲线C：xy＝1.(1)将曲线C绕坐标原点逆时针旋转45°后，求得到的曲线C

3、′的方程；(2)求曲线C的焦点坐标和渐近线方程．　　　　思维升华　把握常见矩阵变换类型，比用一般矩阵运算处理要方便得多，同时，从前后曲线性质分析上，可以加深对曲线性质的理解．跟踪演练1　已知直线l：ax＋y＝1在矩阵A＝对应的变换作用下变为直线l′：x＋by＝1.(1)求实数a，b的值；(2)若点P(x0，y0)在直线l上，且A＝，求点P的坐标．　　　　热点二　二阶矩阵的逆矩阵矩阵的逆矩阵(1)逆矩阵的有关概念对于二阶矩阵A，B，若有AB＝BA＝E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵．若二阶矩阵A存在逆矩阵B，则逆矩阵是唯一的，通常记A的逆矩阵为A－1，A－1＝B.(2

4、)逆矩阵的求法一般地，对于二阶可逆矩阵A＝(ad－bc≠0)，它的逆矩阵为A－1＝.(3)逆矩阵的简单性质①若二阶矩阵A，B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)－1＝B－1A－1.②已知A，B，C为二阶矩阵，且AB＝AC，若矩阵A存在逆矩阵，则B＝C.(4)逆矩阵与二元一次方程组对于二元一次方程组(ad－bc≠0)，若将X＝看成是原先的向量，而将B＝看成是经过系数矩阵A＝(ad－bc≠0)对应变换作用后得到的向量，则可记为矩阵方程AX＝B，＝，则X＝A－1B，其中A－1＝.例2　设矩阵M＝(其中a>0，b>0)．(1)若a＝2，b＝3，求矩阵M的逆矩阵M－1；

5、(2)若曲线C：x2＋y2＝1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′：＋y2＝1，求a，b的值．　　　　思维升华　对于二阶矩阵，若有AB＝BA＝E，则称B为A的逆矩阵．因而求一个二阶矩阵的逆矩阵，可用待定系数法求解．跟踪演练2　已知矩阵A＝，B＝，求矩阵A－1B.　　　热点三　求矩阵的特征值与特征向量二阶矩阵的特征值和特征向量(1)特征值与特征向量的概念设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A的一个特征值，而α称为A的一个属于特征值λ的一个特征向量．(2)特征向量的几何意义特征向量的方向经过变换矩阵A的作用后，保持在同一

6、条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ>0)，或者方向相反(λ<0)，特别地，当λ＝0时，特征向量就被变成了零向量．(3)特征多项式设λ是二阶矩阵A＝的一个特征值，它的一个特征向量为α＝，则A＝λ，即满足二元一次方程组故(*)由特征向量的定义知α≠0，因此x，y不全为0，此时Dx＝0，Dy＝0，因此，若要上述二元一次方程组有不全为0的解，则必须有D＝0，即＝0.定义：设A＝是一个二阶矩阵，λ∈R，我们把行列式f(λ)＝＝λ2－(a＋d)λ＋ad－bc.称为A的特征多项式．(4)求矩阵的特征值与特征向量如果λ是二阶矩阵A的特征值，则λ一定是二阶矩阵A的特征多项式的一个根

7、，它满足f(λ)＝0.此时，将λ代入二元一次方程组(*)，就可以得到一组非零解，于是，非零向量即为A的属于λ的一个特征向量．例3　已知矩阵A＝，其中a∈R，若点P(1,1)在矩阵A的变换下得到点P′(0，－3)．(1)求实数a的值；(2)求矩阵A的特征值及特征向量．　　　　　思维升华　(1)注意特征值与特征向量的求法及特征向量的几何意义：从几何上看，特征向量的方向经过变换矩阵M的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ>0)，或者方向相反(λ<0)．特别地，当λ＝0时，特征向量就被变成了零向量．(2)计算矩阵M＝的特征向量的步骤如下：