概率论与数理统计浙大四版 第二章5讲ppt课件.ppt

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1、第五讲随机变量函数的分布一、问题的提出在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣.求截面面积A=的分布.例如，已知圆轴截面直径d的分布，一、问题的提出在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣.已知t=t0时刻噪声电压V的分布，求功率W=V2/R(R为电阻）的分布等.设随机变量X的分布已知，Y=g(X)(设g是连续函数），如何由X的分布求出Y的分布？下面进行讨论.这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的.二、离散型随机变量函数的分布解：当X取值1，2，5时，Y取对应值5，7，13，例1设X求Y=2X+3的概率函数.～而且X取某值与Y取

2、其对应值是两个同时发生的事件，两者具有相同的概率.故如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当并项即可.一般，若X是离散型r.v，X的概率函数为X～则Y=g(X)～如：X～则Y=X2的概率函数为：Y～三、连续型随机变量函数的分布解：设Y的分布函数为FY(y)，例2设X~求Y=2X+8的概率密度.FY(y)=P{Yy}=P(2X+8y)=P{X}=FX()于是Y的密度函数本例用到变限的定积分的求导公式故注意到00时,注意到Y=X20，

3、故当y0时，解：设Y和X的分布函数分别为和，若则Y=X2的概率密度为：从上述两例中可以看到，在求P(Y≤y)的过程中，关键的一步是设法从{g(X)≤y}中解出X,从而得到与{g(X)≤y}等价的X的不等式.例如，用代替{2X+8≤y}{X}用代替{X2≤y}这样做是为了利用已知的X的分布，从而求出相应的概率.这是求r.v的函数的分布的一种常用方法.练习：设随机变量X的概率密度为求Y=sinX的概率密度.练习：设随机变量X的概率密度为求Y=sinX的概率密度.当y0时,当y1时,当时故解：注意到,=P(0Xarcsiny)+P(-arcs

4、inyX）解：当01,G(y)=1;对y<0,G(y)=0;由于对0≤y≤1,G(y)=P(Y≤y)=P(F(X)≤y)=P(X≤(y))=F((y))=y即Y的分布函数是求导得

5、Y的密度函数可见,Y服从[0，1]上的均匀分布.本例的结论在计算机模拟中有重要的应用.下面给出一个定理，在满足定理条件时可直接用它求出随机变量函数的概率密度.其中，此定理的证明与前面的解题思路类似.x=h(y)是y=g(x)的反函数定理设X是一个取值于区间[a,b]，具有概率密度f(x)的连续型r.v,又设y=g(x)处处可导，且对于任意x,恒有或恒有，则Y=g(X)是一个连续型r.v，它的概率密度为下面我们用这个定理来解一个例题.例5对于连续型随机变量，在求Y=g(X)的分布时，关键的一步是把事件{g(X)≤y}转化为X在一定范围内取

6、值的形式，从而可以利用X的分布来求P{g(X)≤y}.重点：掌握一般情形下求随机变量函数分布的方法：先求分布函数，再求导，求随机变量函数的概率密度。这一讲我们介绍了随机变量函数的分布.本章要求：1会用随机变量表示随机事件。2理解分布函数的定义及性质，要会利用分布函数表示事件的概率。3理解离散型随机变量及其分布率的定义、性质，会求离散型随机变量的分布率及分布函数，掌握常用的离散型随机变量分布：两点分布、二项分布、泊松分布。4理解连续型随机变量及概率密度的定义、性质，要掌握概率密度与分布函数之间关系及其运算，掌握常用的连续型随机变量分布：均

7、匀分布、指数分布和正态分布。5会求随机变量的简单函数的分布。练习测量某目标的距离时，误差X（m），且知XN(20,1600),求三次测量中至少有一次误差绝对值不超过30m的概率.设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布，求Y=-2lnX的概率密度.例7证:X的概率密度为由定理的结论得：例6设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布，求Y=-2lnX的概率密度.解：在区间(0,1)上,函数lnx<0,故y=-2lnx>0,于是y在区间(0,1)上单调下降，有反函数由前述定理得注意取绝对值已知X在(0,1)上服从均匀分布，代入的表达式中得即Y服

8、从参数为1/2的指数分布.