概率论与数理统计浙大四版 第二章3讲课件.ppt

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1、第四节连续型随机变量连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那样,以指定它取每个值概率的方式,去给出其概率分布,而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法.1.连续型r.v及其密度函数的定义定义：若对于随机变量X的分布函数F(x),存在非负实函数f(x),使得对任意的实数x,都有则称X为连续型随机变量，f(x)称为随机变量X的概率密度函数（ProbabilityDensityFunction）。2.概率密度函数的性质1o2o这两条性质是判定一个函数f(x)是否为某r.

2、vX的概率密度函数的充要条件.f(x)xo面积为1故X的密度f(x)在x这一点的值，恰好是X落在区间上的概率与区间长度之比的极限.这里，如果把概率理解为质量，f(x)相当于线密度.若x是f(x)的连续点，则：=f(x)3.对f(x)的进一步理解:要注意的是，密度函数f(x)在某点处a的高度，并不反映X取值的概率.但是，这个高度越大，则X取a附近的值的概率就越大.也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度.f(x)xo若不计高阶无穷小，有：它表示随机变量X取值于的概率近似等于.在连续型r.v理论中所起的作用与在离散型r.v理论中所起的

3、作用相类似.连续型r.v取任一指定值的概率为0.即：a为任一指定值这是因为需要指出的是:由此得，1)对连续型r.vX,有2)由P(X=a)=0可推知而{X=a}并非不可能事件并非必然事件称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件.可见，由P(A)=0,不能推出由P(B)=1,不能推出B=S解例13、连续型r.v的分布函数即分布函数是密度函数的可变上限的定积分.若X是连续型r.v，X～f(x),则F(x)=P(Xx)=～由上式可得，在f(x)的连续点，下面我们来求一个连续型r.v的分布函数.例2设r.vX的密度函数为f(x)求F(x).F(x)=P(Xx)

4、=解：求F(x).解：对x<-1，F(x)=0对对x>1，F(x)=1即大家一起来作下面的练习.求F(x).设由于f(x)是分段表达的，求F(x)时注意分段求.=01F(x)对连续型r.v，若已知F(x)，我们通过求导也可求出f(x)，请看下例.即例3设r.vX的分布函数为(1)求X取值在区间(0.3,0.7)的概率；(2)求X的概率密度.解:(1)P(0.3

5、规定的值.下面给出几个常用连续型r.v的例子.由于连续型r.v唯一被它的密度函数所确定.所以，若已知密度函数，该连续型r.v的概率规律就得到了全面描述.f(x)xo（1）若r.vX的概率密度为：则称X服从区间(a,b)上的均匀分布，记作：X～U(a,b)它的实际背景是：r.vX取值在区间(a,b)上，并且取值在(a,b)中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比.则X具有(a,b)上的均匀分布.分布函数公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等.均匀分布常见于下列情形：如在数值计算中，由于四舍五入，小数点后某一位小数引入的

6、误差；例4某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即7:00，7:15，7:30,7:45等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间X是7:00到7:30之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于5分钟的概率.解：依题意，X～U(0,30)以7:00为起点0，以分为单位为使候车时间X少于5分钟，乘客必须在7:10到7:15之间，或在7:25到7:30之间到达车站.所求概率为：从上午7时起，每15分钟来一班车，即7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站，即乘客候车时间少于5分钟的概率是1/3.例5设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布,现对

7、X进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于3的概率.X的分布密度函数为设A表示“X的观测值大于3”,解即A={X>3}.因而有设Y表示3次独立观测中观测值大于3的次数,则区间(0,1)上的均匀分布U(0,1)在计算机模拟中起着重要的作用.实用中，用计算机程序可以在短时间内产生大量服从(0,1)上均匀分布的随机数.它是由一种迭代过程产生的.严格地说，计算机中产生的U(0,1)随机数并非完全随机，但很接近随机，故常称为伪随机数.如取n足够大，独立产生n个U(0,1)随机数，则从用这n个数字画出的频率直方图就可看出，它很接近于(0,1)上的均匀分布U(0

8、,1).2.指数分布某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如无线电元件的寿命、电力设备的寿命、动物的寿命等都服