概率论与数理统计浙大四版 第四章2讲ppt课件.ppt

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1、第二节方差上一讲我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的.例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图：若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？乙仪器测量结果甲仪器测量结果较好测量结果的均值都是a因为乙仪器的测量结果集中在均值附近又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：你认为哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果乙炮射击结果乙炮因为乙炮的弹着点较集

2、中在中心附近.中心中心为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度.这个数字特征就是我们这一讲要介绍的方差一、方差的定义采用平方是为了保证一切差值X-E(X)都起正面的作用由于它与X具有相同的度量单位，在实际问题中经常使用.方差的算术平方根称为标准差设X是一个随机变量，若E[(X-E(X)]2<∞，则称D(X)=E[X-E(X)]2(1)为X的方差.若X的取值比较分散，则方差较大.若方差D(X)=0,则r.vX以概率1取常数值.方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度.若X的取值比较集中，则方差较小；

3、D(X)=E[X-E(X)]2X为离散型，P(X=xk)=pk由定义知，方差是随机变量X的函数g(X)=[X-E(X)]2的数学期望.X为连续型，X~f(x)二、计算方差的一个简化公式D(X)=E(X2)-[E(X)]2展开证：D(X)=E[X-E(X)]2=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2}=E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2=E(X2)-[E(X)]2利用期望性质请自己用此公式计算常见分布的方差.例1设r.vX服从几何分布，概率函数为P(X=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,…，n其中0

4、q=1-p求和与求导交换次序无穷递缩等比级数求和公式D(X)=E(X2)-[E(X)]2+E(X)三、方差的性质1.设C是常数,则D(C)=0;2.若C是常数,则D(CX)=C2D(X);3.若X1与X2独立，则D(X1+X2)=D(X1)+D(X2);可推广为：若X1,X2,…,Xn相互独立,则X1与X2不一定独立时，D(X1+X2)=？请思考4.D(X)=0P(X=C)=1，这里C=E(X)P(X=x)下面我们用一例说明方差性质的应用.例2二项分布的方差设X~B(n,p),则X表示n重贝努里试验中的“成功”次数.若设i=1,2，…，

5、n故D(Xi)=E(Xi2)-[E(Xi)]2E(Xi)=P(Xi=1)=p,E(Xi2)=p,则是n次试验中“成功”的次数=p-p2=p(1-p)于是i=1,2，…，nD(Xi)=E(Xi2)-[E(Xi)]2=p-p2=p(1-p)由于X1,X2,…,Xn相互独立=np(1-p)1.两点分布已知随机变量X的分布律为则有四、重要概率分布的方差2.泊松分布则有3.均匀分布结论均匀分布的数学期望位于区间的中点.4.指数分布5.正态分布解五、例题讲解例1于是解例2解例3解例4六、切比雪夫不等式设随机变量X有期望E(X)和方差，则对于任给>0

6、,或由切比雪夫不等式可以看出，若越小，则事件{

7、X-E(X)

8、<}的概率越大，即随机变量X集中在期望附近的可能性越大.由此可体会方差的概率意义：它刻划了随机变量取值的离散程度.当方差已知时，切比雪夫不等式给出了r.vX与它的期望的偏差不小于的概率的估计式.如取可见，对任给的分布，只要期望和方差存在，则r.vX取值偏离E(X)超过3的概率小于0.111.例5已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700.利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率.解：设每毫升白细胞数为X依题意，E(X)=7

9、300,D(X)=7002所求为P(5200X9400)P(5200X9400)=P(5200-7300X-73009400-7300)=P(-2100X-E(X)2100)=P{

10、X-E(X)

11、2100}由切比雪夫不等式P{

12、X-E(X)

13、2100}即估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率不小于8/9.例6在每次试验中，事件A发生的概率为0.75,利用切比雪夫不等式求：n需要多么大时，才能使得在n次独立重复试验中,事件A出现的频率在0.74~0.76之间的概率至少为0.90?解：设X为n次试验中，事件A出现的次数，E(X)=

14、0.75n,的最小的n.则X~B(n,0.75)所求为满足D(X)=0.75*0.25n=0.1875n=P(-0.01n

15、X-E(X)

16、<0.01n}P(0.74n