高等数学（下）课件D12习题课.ppt

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1、级数的收敛、求和与展开三、幂级数和函数的求法四、函数的幂级数一、数项级数的审敛法二、求幂级数收敛域的方法第十二章求和展开(在收敛域内进行)基本问题：判别敛散；求收敛域；求和函数；级数展开.时为数项级数;时为幂级数;一、数项级数的审敛法1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.正项级数审敛法必要条件不满足发散满足比值审敛法根值审敛法收敛发散不定比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限3.任意项级数审敛法为收敛级数Leibniz判别法:若且则交错级数收敛,概念:且余项若收敛,称绝对收敛若发散,称条件收敛设∑un和∑vn都是正项级

2、数,且unkvn(k>0,nN).若级数∑vn收敛,则级数∑un收敛;若级数∑un发散,则级数∑vn发散.p级数的收敛性证比较审敛法例1定理3(比较审敛法的极限形式)解例2>>>解定理(比较审敛法的极限形式)例3收敛当1(或)时级数发散当1时级数可能收敛也可能发散定理(比值审敛法达朗贝尔判别法)解所以根据比值审敛法可知所给级数收敛例4证明级数是收敛的所以根据比值审敛法可知所给级数发散下页解收敛当1(或)时级数发散当1时级数可能收敛也可能发散定理(比值审敛法达朗贝

3、尔判别法)例5提示:所以根据比值审敛法可知所给级数收敛下页解收敛当1(或)时级数发散当1时级数可能收敛也可能发散定理(比值审敛法达朗贝尔判别法)例6定理(极限审敛法)因为解根据极限审敛法知所给级数收敛下页例7定理(极限审敛法)因为解根据极限审敛法知所给级数收敛首页例8这是一个交错级数.解由莱布尼茨定理,级数是收敛的,且其和s

4、rn

5、un1.定理(莱布尼茨定理)因为此级数满足例12例9三、绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛定理

6、(绝对收敛与收敛的关系)应注意的问题下页解下页定理(绝对收敛与收敛的关系)例13例10结束定理(绝对收敛与收敛的关系)解例14例11二、求幂级数收敛域的方法•标准形式幂级数:先求收敛半径R,再讨论•非标准形式幂级数通过换元转化为标准形式直接用比值法或根值法处的敛散性.题7.求下列级数的敛散区间:下页因此,收敛域为(1,1].解定理(收敛半径的求法)例12解因为所以收敛半径为R,从而收敛域为(,).下页定理(收敛半径的求法)例13解因为所以收敛半径为R0,即级数仅在x0处收敛.下页定理(收敛半径的求法)例1

7、4提示:此级数缺少奇次幂的项,前述求收敛半径的方法不能直接应用.提示:解这种缺项幂级数一般用比值审敛法来求收敛半径.当4

8、x

9、2<1即

10、x

11、<时级数收敛;当4

12、x

13、2>1即

14、x

15、>时级数发散,下页例15这种缺项幂级数一般用比值审敛法来求收敛半径.当4

16、x

17、2<1即

18、x

19、<时级数收敛;当4

20、x

21、2>1即

22、x

23、>时级数发散,下页解例16解所以收敛半径R2.所以原级数的收敛域为[1,3).即2x1<2,或1x<3,因此收敛域为2t<2,首页例17•求部分和式极限三、幂级数和函数的求法求和•映射变换法逐项求导或求积分

24、对和式积分或求导难直接求和:直接变换,间接求和:转化成幂级数求和,再代值求部分和等•初等变换法:分解、套用公式（在收敛区间内）•数项级数求和提示解求得幂级数的收敛域为[11)显然S(0)1因为提示下页例18解结束求得幂级数的收敛域为[11)显然S(0)1因为>>例19练习:解:(1)显然x=0时上式也正确,故和函数为而在x≠0题8.求下列幂级数的和函数：级数发散,(4)显然x=0时,和为0;根据和函数的连续性,有x=1时,级数也收敛.即得练习:解:原式=的和.题9(2).求级数四、函数的幂级数和付式级

25、数展开法•直接展开法•间接展开法练习:1.将函数展开成x的幂级数.—利用已知展式的函数及幂级数性质—利用泰勒公式解:1.函数的幂级数展开法例5解已知把x换成x2,得提示:收敛半径的确定:由-1-x21得-1x1.下页例20幂级数展开式小结谢谢大家！