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1、一阶微分方程的机动目录上页下页返回结束习题课(一)一、一阶微分方程求解二、解微分方程应用问题解法及应用第十二章一、一阶微分方程求解1.一阶标准类型方程求解关键:辨别方程类型,掌握求解步骤2.一阶非标准类型方程求解(1)变量代换法——代换自变量代换因变量代换某组合式(2)积分因子法——选积分因子,解全微分方程四个标准类型:可分离变量方程,齐次方程,线性方程,全微分方程机动目录上页下页返回结束例1.求下列方程的通解提示:(1)故为分离变量方程:通解机动目录上页下页返回结束方程两边同除以x即为齐次方程,令y=ux,
2、化为分离变量方程.调换自变量与因变量的地位,用线性方程通解公式求解.化为机动目录上页下页返回结束方法1这是一个齐次方程.方法2化为微分形式故这是一个全微分方程.机动目录上页下页返回结束例2.求下列方程的通解:提示:(1)令u=xy,得(2)将方程改写为(贝努里方程)(分离变量方程)原方程化为机动目录上页下页返回结束令y=ut(齐次方程)令t=x–1,则可分离变量方程求解化方程为机动目录上页下页返回结束变方程为两边乘积分因子用凑微分法得通解:机动目录上页下页返回结束例3.机动目录上页下页返回结束设F(x)＝f(
3、x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(－∞,+∞)内满足以下条件:(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;(03考研)(2)求出F(x)的表达式.解:(1)所以F(x)满足的一阶线性非齐次微分方程:机动目录上页下页返回结束(2)由一阶线性微分方程解的公式得于是练习题:(题3只考虑方法及步骤)P326题2求以为通解的微分方程.提示:消去C得P327题3求下列微分方程的通解:提示:令u=xy,化成可分离变量方程:提示:这是一阶线性方程,其中P326题1，2，3(1),(2),(3),(4),(5),(9),(
4、10)机动目录上页下页返回结束提示:可化为关于x的一阶线性方程提示:为贝努里方程,令提示:为全微分方程,通解提示:可化为贝努里方程令微分倒推公式机动目录上页下页返回结束原方程化为,即则故原方程通解提示:令机动目录上页下页返回结束例4.设河边点O的正对岸为点A,河宽OA=h,一鸭子从点A游向点二、解微分方程应用问题利用共性建立微分方程,利用个性确定定解条件.为平行直线,且鸭子游动方向始终朝着点O,提示:如图所示建立坐标系.设时刻t鸭子位于点P(x,y),设鸭子(在静水中)的游速大小为b求鸭子游动的轨迹方程.O,
5、水流速度大小为a,两岸则关键问题是正确建立数学模型,要点:则鸭子游速b为机动目录上页下页返回结束定解条件由此得微分方程即鸭子的实际运动速度为(求解过程参考P273例3)(齐次方程)机动目录上页下页返回结束思考:能否根据草图列方程?练习题:P327题5,6P327题5.已知某曲线经过点(1,1),轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程.提示:设曲线上的动点为M(x,y),令X=0,得截距由题意知微分方程为即定解条件为此点处切线方程为它的切线在纵机动目录上页下页返回结束P327题6.已知某车间的容积为的新鲜空气问
6、每分钟应输入多少才能在30分钟后使车间空的含量不超过0.06%?提示:设每分钟应输入t时刻车间空气中含则在内车间内两端除以并令与原有空气很快混合均匀后,以相同的流量排出)得微分方程(假定输入的新鲜空气输入,的改变量为机动目录上页下页返回结束t=30时解定解问题因此每分钟应至少输入250新鲜空气.初始条件得机动目录上页下页返回结束k=?作业P2693,7;P276*4(2);P2829(2),(4)机动目录上页下页返回结束
