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1、高等院校非数学类本科数学课程大学数学（三）多元微积分学第一章多元函数微分学第一章多元函数微分学本章学习要求：理解多元函数的概念。熟悉多元函数的“点函数”表示法。知道二元函数的极限、连续性等概念，以及有界闭域上连续函数的性质。会求二元函数的极限。知道极限的“点函数”表示法。理解二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分等概念。了解全微分存在的必要条件和充分条件。了解二元函数的偏导数和全微分的几何意义。熟练掌握二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分的计算方法及复合函数求导法。能熟练求出函数的二阶偏导数。了解求偏导与求导顺序无关的条件。理解方向导数的概念，并掌握它的计算方法以及它与梯度的关
2、系。会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的一阶、二阶偏数。知道二元函数的泰勒公式形式。知道n元函数的偏导数概念及其求法。熟悉平面的方程和直线的方程及其求法。了解空间(平面)曲线的参数方程和一般方程。知道曲面方程。11.了解曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的概念,并能熟练求出它们的方程。知道曲线族的包络的概念及其法。12.理解二元函数无约束极值的概念，能熟练求出二元函数的无约束极值。了解条件极值（有约束极值）的概念，能熟练运用拉格朗日乘数法求条件极值。13.掌握建立与多元函数极值有关的数学模型的方法。会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。第七节高阶偏导数多元函数的高阶
3、导数与一元函数的情形类似.一般说来,在区域内,函数z=f(x,y)的偏导数仍是变量x,y的多元函数,如果偏导数的二阶偏导数.依此类推,可定义多元函数的更高阶的导数.仍可偏导,则它们的偏导数就是原来函数一般地,若函数f(X)的m－1阶偏导数仍可偏导,则称其偏导数为原来函数的m阶偏导数.二阶和二阶以上的偏导数均称为高阶偏导数,其中,关于不同变量的高阶导数,称为混合偏导数.例高阶偏导数还可使用下列记号二元函数的二阶偏导数共22=4项例例例例共23=8项.发现求高阶导数与求导顺序有关.求的二阶偏导数.先求一阶偏导数：再求二阶偏导数：例解求的二阶偏导数.例解二阶混合偏导数：观察发现两个混
4、合偏导数相等一般性？这里的两个混合偏导数均连续设求需按定义求函数在点(0,0)处的偏导数:00不相等例解这说明只有在一定的条件下求函数的高阶偏导数才与求导顺序无关.想想应是什么条件？定理若的二阶混合偏导数在内存在且在点处连续,则必有废话!求出偏导数才能判断连续性,这时一眼就可看出混合偏导数是否相等了,还要定理干什么.有些函数不必求出其导数,就可知道它的导函数是否连续.懂吗！令则连续、可导,由拉格朗日中值定理得证即关于变量y再运用拉格朗日中值定理,得同理,令则先关于变量y再关于变量x运用拉格朗日中值定理,得故由二阶混合偏导数连续性,取极限后,即得定理的结论.该定理的结论可推广到更高
5、阶的混合偏导数的情形.现在问你,证明定理时为什么会想到用？看图课后再想是依次将一个变量看成常数求导.引入记号：在内有直到k阶的连续偏导数,记为时,则在求n阶及n阶以下的偏导数时,可大大减少运算次数.自变量的个数越多,求导与求导顺序无关的作用越二元函数的n阶偏导数就有2n项,当明显.例解例解例解这是求隐函数的高阶偏导数.请自己计算例解利用变量代换将方程化为关于变量的方程.令例解即同理可得将上述偏导数带入原方程,得到利用算子可以方便地表示高阶微分泰勒公式高阶微分若则它的全微分存在,且若则111211331…………系数：例解称为二阶Hessian矩阵二阶微分的矩阵表示：又故例解泰勒公式
6、与求多元函数的偏导数的方法类似,我们想借助一元函数的泰勒公式来建立多元函数的泰勒公式.首先,将一元函数的泰勒公式写成微分形式：x为自变量时运用点函数进行推广定理(多元函数的泰勒公式)拉格朗日余项.该公式称为多元函数泰勒公式的微分形式由多元函数高阶微分式：多元函数的泰勒公式可写成一般形式：证明多元函数泰勒公式的思想方法是引入参变量，将多元函数的问题转化为相应的一元函数问题，选择参变量的特殊值，写出一元函数的泰勒公式，并按多元函数的求导法则求所需的各阶偏导数，即可完成多元函数的泰勒公式的证明.于是由一元函数的泰勒公式再按多元函数的求导法则求出各阶导数值,即可得到多元函数的泰勒公式.取
7、X0=0,泰勒公式即为马克劳林公式.即取m=0由已知条件及X0的任意性,立即可得例证
