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《高等数学微积分课件-85高阶偏导数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§8.6多元函数极值与最值一、多元函数的极值与最值二、条件极值三、最小二乘法*1二元函数极值的定义设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有定义，对于该邻域内异于(x0,y0)的点(x,y)：若满足不等式f(x,y)f(x0,y0),则称函数在(x0,y0)有极小值。极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点2二元函数极值示例示例1.(1)示例2.(2)示例3.(3)3多元函数取极值的必要条件定理(必要条件):设函
2、数z=f(x,y)在点(x0,y0)偏导数都存在,若其在点(x0,y0)处有极值,则它在该点的偏导数必然为零：证:证:同样地,多元函数都有类似性质。4驻点与极值点仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.驻点极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？注意：5多元函数取极值的充分条件定理(充分条件):设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内连续、存在二阶连续偏导数,且记则f(x,y)在点(x0,y0)处取得极值的条件如下：（1）时具有极值,（3）当A<0时有极大值,当A>0时有极小值;（
3、2）时没有极值;不能确定,还需另作讨论。6多元函数求极值的一般步骤第一步：解方程组求出实数解,得驻点;第二步：计算二阶偏导第三步：对每个驻点,分别计算A、B、C;第四步：对每个驻点,确定=B2-AC以及A或C的符号,再判断是否有极值。7例题与讲解例:求函数z=(2ax-x2)(2by-y2)的极值,其中a,b为非零常数。解：由极值必要条件：可解得驻点：(a,b),(0,0),(0,2b),(2a,0),(2a,2b)因为：对驻点(a,b),有由充分条件知,点(a,b)为极大值点,极大值为z(a,b)=a2b2对驻
4、点(0,0),有故,点(0,0)不是极值点。类似可验证,点(0,2b),(2a,0),(2a,2b)都不是极值点。8课堂练习385页16.（2）9例题与讲解*例：求由方程x2+y2+z2-2x+2y-4z-10=0确定的隐函数z=f(x,y)的极值。解：故z=f(1,-1)=6为极大值.10多元函数的最值与一元函数相类似,我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值。求最值的一般方法：将函数在定义区域D内所有驻点处的函数值以及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值。特殊方法：
5、区域D内只有唯一驻点且为极值点,即为相应的最值点。根据实际意义、实际经验判断是否为最值。11例题与讲解（选讲）例：求二元函数z=x2y(4-x-y)在直线x+y=6，x轴和y轴所围成闭区域D上的最大值与最小值。解：先求函数在D内的驻点，解方程比较后可知f(2,1)=4为最大值f(4,2)=-64为最小值12例题与讲解（重点）例：某企业生产两种商品的产量分别为x、y单位,利润函数为：L=64-2x2+4xy-4y2+32y-14，求最大利润。解：由极值的必要条件解得唯一驻点(40,24).由可知,唯一驻点(40,24
6、)为极大值点,亦即最大值点。最大值为：L(40,24)=1650答：两产品产量分别为40单位和24单位时,利润最大,最大利润为1650单位。13例题与讲解例：已知某产品的需求函数为Q=200000p-1.5x0.1y0.3,其中Q为需求量,p为价格,x为广告费,y为推销费,若产品的可变成本为25元/件,固定成本(不含x,y)为8000元。求最佳经营时的价格、广告费和推销费。解：利润函数为最佳经营时,应是总利润最大，故唯一驻点：p=75x355554y106666214例题与讲解*例：求的最大值和最小值。解：由故
7、,边界上的值为零;而所以,最大值为：最小值为：无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，再无其他条件限制。15条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值。引例：小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带,设他购买x张磁盘,y盒录音磁带达到最佳效果,效果函数为U(x,y)=lnx+lny。设每张磁盘8元,每盒磁带10元,问他如何分配这200元以达到最佳效果。问题的实质：求U(x,y)=lnx+lny在条件8x+10y=200下的极值点。16条件极值的求解思路条件极值问题：求z=f(x,y)在条
8、件(x,y)=0限制下的极值。求解思路：将条件(x,y)=0代入目标函数z=f(x,y)内,再对其求无条件极值（注意,此时z=f(x,y)内的y是x的隐函数）：即令代入,得解决上述条件极值问题,即为求满足下列条件的(x0,y0)可看作z=f(x,y)+(x,y)的无条件极值点(x0,y0,0)17拉格朗日乘数法拉格朗日函数：称F(x,y,)=f(
