华中师范大学实变函数2011(B).doc

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1、华中师范大学2011–2012学年第一学期期末考试试卷（B卷）课程名称实变函数课程编号任课教师李工宝、何穗、刘敏思、郑高峰题型判断题叙述题计算题解答题总分分值15152050100得分得分评阅人一、判断题（判断正确、错误，请在括号中填“对”或“错”。共5小题，每题3分，共5×3=15分）1、由1，2两个数构成的实数列全体具有连续势（即连续基数）。（）2、设是中的可数集，则仍为可数集。（）3、设为开集，则一定可以表示成一列闭集的并集（即是型集）。（）4、若为上的有理数集，为可测集，则。（）5、设{}是上的一列非负单调可测函数，则是上的Lebesgue可积函数。（）得分评阅

2、人二、叙述题(共5小题,每题3分，共5×3=15分)1、请准确地叙述反映单调递增非负可测函数列Lebesgue积分与极限可交换性的Levi的单调收敛定理。院（系）：专业：年级：学生姓名：学号：-------------------------------------------------密----------------------------------封-----------------------------线---------------------------------------------------------2、请准确地叙述反映依测度收敛与几乎处处

3、收敛之间关系的Lebesgue定理（勒贝格定理）。3、请准确地叙述反映可测函数列与连续函数之间关系Lusin定理（鲁津定理）。4、请准确地叙述反映两个集合对等的Bernstein定理。5、请准确地叙述反映非负可测函数的重积分化累次积分的Fubini定理。第1页(共3页)得分评阅人三、计算题（共2题，每题10分，共20分）1、设为上的Cantor三分集，，求。2、计算。-------------------------------------------------密----------------------------------封------------------

4、-----------线---------------------------------------------------------得分评阅人四、解答题（共5小题，共50分）1、（10分）设是可测集，则存在一列单调上升的闭子集，使得，。2、（5分）若为上的可测函数，为闭集，则，是可测集。3、（10分）设是可测集，为上的可测函数，且存在零测集，使得，于，记，证明：。第2页(共3页)4、（10分）设于，证明：于。5、（15分）设为可测集，为上的实函数，（1）若对几乎所有的，都是在上的连续函数；对任取的，都是在上的可测函数，证明：对于任何上的实值可测函数，也是上的可测函

5、数。（2）设还满足：存在常数，使得，对任意，，若是上的可积函数，且，证明：。-------------------------------------------------密----------------------------------封-----------------------------线---------------------------------------------------------第3页(共3页)