华中师范大学—复变函数(2006-2007)a

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1、华中师范大学2006–2007学年第二学期期末考试试卷（A卷）（解答）课程名称复变函数课程编号任课教师题型选择填空计算证明综合总分分值181250128100得分得分评阅人一、单项选择题：（共6题，每题3分）1.设记，则以下判断正确的是[C].(A)(B)(C)(D)的值无法确定.2.函数在处[B].(A)不连续.(B)连续但不解析.(C)解析的.(D)可导且解析.3.设在单连通区域内解析,为内一条简单闭曲线,则必有[D].(A)(B)(C)(D)4.设，则[C].(A)0.(B)1.(C).(D)不存在.5.设（为整数），则[B].(A).(B).(C).

2、(D).6.设以为可去奇点或极点，以为本性奇点，则为的[B].(A)可去奇点.(B)本性奇点.(C)极点.(D)无法确定的奇点类别.得分评阅人二、填空题：（共4题，每题3分）1．设，则0.2．函数的3阶极点，.3．设这里，则.4．幂级数（为整数）的收敛半径为1.得分评阅人三、解答题：（共50分） １．试用柯西—黎曼条件讨论函数在复平面上的可导性和解析性．(10分)解：记，，显然它们在平面上具有连续的偏导数，　　　且，，，　　　　　　　　　　　　　　　　　４分要使柯西—黎曼条件条件满足，只须　，，即，　６分故此函数仅在点可导，而在复平面上处处不解析．　　　　　

3、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１０分２．设.(1)求在内的泰勒展式.(8分)(2)求在圆环内的洛朗展式.(7分)(3)求在圆环内的洛朗展式.(5分)解：---------------------------------------------------(3分)(1)当时------(8分)(2)当时-----------------------------(15分)(3)当时　　　---------(20分)■3．设以点为阶零点，以点为阶极点，试讨论在点有什么性质？(10分)解：由题设　，，其中，在解析，且，．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

4、　　　　　　　　　　　　　―――――――――――（５分）于是　，当时，以为阶零点；当时，以为可去奇点（解析点）；当时，以为阶极点．　　　　　　　　　　　　　　　―――――――――――――（１０分）４．利用留数计算实积分：．(10分)解：　　　　　　　　（５分）令，注意到留数定理得　　　（１０分）得分评阅人四、证明题：（共12分）１．设是一个整函数，且满足存在，证明：是一个次的多项式．(6分)证明：（法一）由极限的局部有界性得，存在，当时，由泰勒定理，可设　　，　　　　　　　　　　　――――――（３分）由系数的估计式得，当时　　　　――――――（６分）所以，，

5、即是次数不超过次的多项式，再由即可得结论．（法二）由知，以为阶极点，又是一个整函数，所以，是一个次的多项式．２．设为单连通区域，在内解析，为内一条简单闭曲线，为的内部．若对于任意，都有，则在内恒有，其中为实常数．(6分)证明：由柯西公式，在内，　　　　　　　　　－―――――（２分）于是，在内　，从而在内为常数，注意到，，其中为实常数　　　　　　　　　――――――（４分）再由解析函数的唯一性即得，在内，其中为实常数　　　　　　　　　――――――（６分）得分评阅人五、综合题：（共8分）1．设表示在割线上沿取正实数的解析分支，表示在割线上沿取实数的解析分支，按下面

6、的步骤计算实积分：和．(1)　分别求和在处的值以及在割线下沿处的值；(3分)(2)　求，以及；(2分)(3)　考虑辅助函数沿适当封闭曲线的积分，用留数定理计算和．(3分)解：（１）由已知初值求终值的公式，，　，，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　――――――（３分）（２）注意到当时，，，且，，有，，．――――――（５分）（３）考虑函数沿如图示区域边界正向的积分，由留数定理得由（２）再结合积分的估值性可得，所以，比较上式两边的实部和虚部得，．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

7、　――――――（８分）