华中-复变函数8

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1、第六章共形映射从映射的角度研究解析函数共形映射分式线性映射初等函数映射1z平面内的任一条有向曲线C可用z=z(t),atb表示,它的正向取为t增大时点z移动的方向,z(t)为一条连续曲线.如果z'(t0)0,a

2、C无限趋向于点P0,割线P0P的极限位置就是C上P0处的切线.因此,表示的向量与C相切于点z0=z(t0),且方向与C的正向一致.z'(t0)3我们有Argz'(t0)就是z0处C的切线正向与x轴正向间的夹角;相交于一点的两条曲线C1与C2正向之间的夹角就是它们交点处切线正向间夹角Ox(z)z041.解析函数的导数的几何意义映射w=f(z)将C映射成w平面内通过点z0的对应点w0=f(z0)的一条有向光滑曲线G:w=f[z(t)],atb.又设C为z平面内通过点z0的一条有向光滑曲线:z=z(t),atb,且z0

3、=z(t0),z'(t0)0,a

4、在z0处的转动角,则1)导数f'(z0)0的辐角Argf'(z0)是曲线C经过w=f(z)映射后在z0处的转动角;82)转动角的大小与方向跟曲线C的形状与方向无关.所以这种映射具有转动角的不变性.通过z0点的可能的曲线有无限多条,其中的每一条都具有这样的性质,即映射到w平面的曲线在w0点都转动了一个角度Argf'(z0).OxyOuv(z)(w)z0w09相交于点z0的任何两条曲线C1与C2之间的夹角,在其大小和方向上都等同于经w=f(z)映射后C1与C2对应的曲线G1与G2之间的夹角,所以这种映射具有保持两曲线间夹角

5、与方向不变的性质.这种性质称为保角性.yaOxOuv(z)(w)z0w0aC1C2G1G210称为曲线C在z0的伸缩率.3)上式表明

6、f'(z)

7、是两象点间距离和两原象点间距离比值的极限，从而可视为映射w=f(z)在点z0处沿曲线C的伸缩率,它与曲线C的形状及方向无关.所以这种映射又具有伸缩率不变性.11上式可视为若若若12例1求w=f(z)=z3在z=0,z=i处的导数值,并说明几何意义。解：w=f(z)=z3在全平面解析，f'(z)=3z2。在z=i处具有伸缩率不变和保角性。伸缩率为3，旋转角为。13定理一设函数w=

8、f(z)在区域D内解析,z0为D内的一点,且f'(z0)0,则映射w=f(z)在z0具有两个性质:1)保角性.即通过z0的两条曲线间的夹角跟经过映射后所得两曲线间的夹角在大小和方向上保持不变。2)伸缩率的不变性.即通过z0的任何一条曲线的伸缩率均为

9、f'(z0)

10、而与其形状和方向无关.14仅具有保角性和伸缩率不变性的映射称为第一类保角映射；而具有伸缩率不变性和保持角度绝对值不变而旋转方向相反的映射称为第二类保角映射。例如是第二类保角映射。定义6.1152.保形映射的概念定义设函数w=f(z)在z0的邻域内是一一的,在z

11、0具有保角性和伸缩率不变性,则称映射w=f(z)在z0是保形的,或称w=f(z)在z0是保形映射.如果映射w=f(z)在D内的每一点都是保形的,就称w=f(z)是区域D内的保形映射.16定理二如果函数w=f(z)在z0解析,且f'(z0)0,则映射w=f(z)在z0是第一类保角映射,而且Argf'(z0)表示这个映射在z0的转动角,

12、f'(z0)

13、表示伸缩率.如果解析函数w=f(z)在D内是一一映射，且处处有f'(z)0,则映射w=f(z)是D内的保形映射.17保形映射是把区域双方单值地映射成区域，在每一点保角，在每

14、一点具有伸缩率不变性。例如函数在是第一类保角的；在是保形的。18在D内作以z0为其一个顶点的小三角形,在映射下,得到一个以w0为其一个顶点的小曲边三角形,这两个三角形对应边长之比近似为

15、f'(z0)

16、,有一个角相等,则这两个三角形近似相似.OxyOuv(z)(w)z0w0aaC1C2G1G2定理一的几何意义.19Ox