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《在实际问题中经常要遇到求三元以上函数的极值问题.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、在实际问题中经常要遇到求三元以上函数的极值问题，对此可由二次型的正定性加以解决.定义1设元函数在的某个邻域内有一阶、二阶连续偏导数。记,称为函数在点处的梯度.定义3满足的点称为函数的驻点.定义4称为函数在点处的黑塞矩阵。显然是由的个二阶偏导数构成的阶实对称矩阵.定理8(极值存在的必要条件)设函数在点处存在一阶偏导数，且为该函数的极值点，则.定理9(极值的充分条件)设函数在点的某个邻域内具有一阶、二阶连续偏导数，且则:(1)当为正定矩阵时，为的极小值;(2)当为负定矩阵时，为的极大值;(3)当为不定
2、矩阵时，不是的极值。应注意的问题：利用二次型的正定性来判断多元函数的极值虽然是一个很好的方法,但也有一定的局限性,因为充分条件对正定和负定的要求是很严格的,若条件不满足,那结论就不一定成立.例3 求三元函数的极值.解 先求驻点，由得所以驻点为.再求(Hessian)黑塞矩阵因为,所以，可知是正定的，所以在点取得极小值：.当然，此题也可用初等方法求得极小值，结果一样.4.2投入产出的矩阵理论投入产出分析对于生产生活中有着非常广泛和重要的作用，它是利用数学理论和计算机技术来对经济活动中生产部门和消费部
3、门之间的相互关系进行研究的,尤其是研究和分析各部门在产品生产和消费之间的数量关系。在利用矩阵理论研究投入产出经济问题的过程中,通常地会把所讨论的某一个经济系统反映在一张平衡表中(我们称之为投入产出表),并通过建立数学模型把这种关系用数学关系式表示出来。我们可以从它们特有的数学模型看出来,这种模型是研究某一经济系统中各部门之间“投入”和“产出”关系的一种线性模型。能够反映一个系统中各部门之间数量依存关系的投入产出表以及由此得到的平衡方程统被我们称之为投入产出模型。投入产出模型按其内在结构可分为两类:
4、一是闭模型;另一个是开模型。一、投入产出分析的闭模型这类模型计量全部产出都被当作生产中的所有投入而消耗的情况。它可以反映整个生产系统的投入产出结构。例1.有三个农户张、王、李，各有所长,商定通过转工来实行联合经营。张要把劳动时间的20%用在自家，40%用在王家，40%用在李家；王要把劳动时间的10%用在张家，50%用在自家，40%用在李家；李要把劳动时间的60%用在张家，10%用在李家，30%用在自家。一年后，需要计算每户应得多少劳动报酬(包括在自家的劳动报酬)，以使每个人的劳动报酬与此其所做的工
5、作量相当。分析：将上述张、王、李的劳动时间分配情况排列成一个数表，即矩阵张王 李在张家做工所占比例0.2 0.1 0.6在王家做工所占比例0.4 0.5 0.1在李家做工所占比例0.4 0.4 0.3以分别表示张、王、李应得的劳动报酬。为公平合理，就要求每户付出的总量与所得到的总量相等，因此，得到如下等量关系：内部消耗=总产出。于是有：解：设分别表示张、王、李应得的劳动报酬则上述方程组用矩阵表示为若记为系数矩阵(直接消耗矩阵)为张、王、李产出的列向量，则为用于内部消耗所需在张、王、李家的投入量。于
6、是，上述矩阵方程可表示为化简得(1)该方程的解即为张、王、李应得的报酬。而方程(1)的解的情况与矩阵的秩有关，因而求解(1)就变成求矩阵的秩：由于所以方程(1)有非零解。取则方程(1)的解用矩阵表示：若取C=360元,则张、王、李的报酬为=一般地一个投入产出闭模型的投入产出矩阵为。这里表示被消耗的与所生产的产出量之比。对于闭模型来说,每列之和等于1，即表明全部产出都被消耗。而对所有的元素来说。如果是这个含有个成分的闭系统的投入产出矩阵表示该系统每个产出评价值的列向量，那么有：即：这是一个齐次线性方
7、程组,它的解与的秩有关，只要这个方程组就有非零解。如果矩阵中的元素为正数且每一列的和等于1那么这个方程有一参数解，即个未知量可用其余的一个作为参数的未知量解出。这个参数作为一个尺度因子起作用。二、投入产出分析的开模型在开模型中，除了产出的内部消耗外,还有产出的外部需求。这些外部需求包括出口、消费者的需求等。因而，这里以产出都被消耗为前提。例2.假定一个农场生产三种产品产品的一部分分别用于这三种产品的生产中,而其余的部分用于消费。这两种产品的使用情况也是如此。现用一张表来描述在一定时期内这三种产品在
8、使用中的相互关系。表1单位：元RST消费合计R50204070180S20302090160T30202050120表中每一行表示每种产品的产值的投入情况。在总产值产品生产中分别耗用了元被用来供给消费。由于产品的全产出都被和消费利用，产的目的是为了满足消费需求，而产出70元的产量。为满足着一需求，必须产出总产值180元，因为还有110元是和在生产中所需要的。现假定消费需求是变动的。假设在原有需求的基础上第三年的需求分别为60，110，60，在生产条件不便的情况下,问为满足这些预测的
