2、;当x>0时,y¢>0,所以函数在x=0处取得极小值,极小值为y(0)=0.(3)函数的定义为(-¥,+¥),y¢=-4x3+4x=-4x(x2-1),y¢¢=-12x2+4,令y¢=0,得x1=0,x2=-1,x3=1.因为y¢¢(0)=4>0,y¢¢(-1)=-8<0,y¢¢(1)=-8<0,所以y(0)=0是函数的极小值,y(-1)=1和y(1)=1是函数的极大值.(4)函数的定义域为(-¥,1],,令y¢=0,得驻点.因为当时,y¢>0;当时,y¢<0,所以为函数的极大值.(5)函数的定义为(-¥,+¥),,驻点为.因为当时,y¢>0;当时,y¢<0,所以函数在处取得极大值
3、,极大值为.(6)函数的定义为(-¥,+¥),,驻点为x1=0,x2=-2.列表x(-¥,-2)-2(-2,0)0(0,+¥)y¢-0+0-y↘极小值↗4极大值↘可见函数在x=-2处取得极小值,在x=0处取得极大值4.(7)函数的定义域为(-¥,+¥).y¢=ex(cosx-sinx),y¢¢=-exsinx.令y¢=0,得驻点,,(k=0,±1,±2,×××).因为,所以是函数的极大值.因为y¢¢,所以是函数的极小值.(8)函数的定义域为(0,+¥),.令y¢=0,得驻点x=e.因为当x0;当x>e时,y¢<0,所以为函数f(x)的极大值.(9)函数的定义域为(-¥
4、,+¥),,因为y¢<0,所以函数在(-¥,+¥)是单调减少的,无极值.(10)函数y=x+tgx的定义域为(k=0,±1,±2,×××).因为y¢=1+sec2x>0,所以函数f(x)无极值.2.试证明:如果函数y=ax3+bx2+cx+d满足条件b2-3ac<0,那么这函数没有极值.证明y¢=3ax2+2bx+c.由b2-3ac<0,知a¹0.于是配方得到y¢=3ax2+2bx+c,因3ac-b2>0,所以当a>0时,y¢>0;当a<0时,y¢<0.因此y=ax3+bx2+cx+d是单调函数,没有极值.3.试问a为何值时,函数在处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值.解f
5、¢(x)=acosx+cos3x,f¢¢(x)=-asinx-3sinx.要使函数f(x)在处取得极值,必有,即,a=2.当a=2时,.因此,当a=2时,函数f(x)在处取得极值,而且取得极大值,极大值为.4.求下列函数的最大值、最小值:(1)y=2x3-3x2,-1£x£4;(2)y=x4-8x2+2,-1£x£3;(3),-5£x£1.解(1)y¢=6x2-6x=6x(x-1),令y¢=0,得x1=0,x2=1.计算函数值得y(-1)=-5,y(0)=0,y(1)=-1,y(4)=80,经比较得出函数的最小值为y(-1)=-5,最大值为y(4)=80.(2)y¢=4x3-16x
6、=4x(x2-4),令y¢=0,得x1=0,x2=-2(舍去),x3=2.计算函数值得y(-1)=-5,y(0)=2,y(2)=-14,y(3)=11,经比较得出函数的最小值为y(2)=-14,最大值为y(3)=11.(3),令y¢=0,得.计算函数值得,,y(1)=1,经比较得出函数的最小值为,最大值为.5.问函数y=2x3-6x2-18x-7(1£x£4)在何处取得最大值？并求出它的最大值.解y¢=6x2-12x-18=6(x-3)(x+1),函数f(x)在1£x£4内的驻点为x=3.比较函数值:f(1)=-29,f(3)=-61,f(4)=-47,函数f(x)在x=1处取得最
7、大值,最大值为f(1)=-29.6.问函数(x<0)在何处取得最小值？解,在(-¥,0)的驻点为x=-3.因为,,所以函数在x=-3处取得极小值.又因为驻点只有一个,所以这个极小值也就是最小值,即函数在x=-3处取得最小值,最小值为.7.问函数(x³0)在何处取得最大值？解.函数在(0,+¥)内的驻点为x=1.因为当00;当x>1时y¢<0,所以函数在x=1处取得极大值.又因为函数在(0,+¥)内只有一个驻点,所以此极大值也是函数的最大值,即函数在x
