2021届新高考数学一轮专题复习（新高考版）第14讲-导数在研究函数中的应用（解析版）.doc

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1、第14讲-导数在研究函数中的应用一、考情分析1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间；2.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；3.能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值；体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系.二、知识梳理1.函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x

2、)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.2.函数的极值与导数条件f′(x0)＝0x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0图象形如山峰形如山谷极值f(x0)为极大值f(x0)为极小值极值点x0为极大值点x0为极小值点3.函数的最值与导数(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.(3)求可导函数f(x)在[a，b]上的

3、最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.[微点提醒]1.函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件.2.对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件.3.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.4.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必

4、然的大小关系.一、经典例题考点一　求函数的单调区间【例1】已知函数f(x)＝ax3＋x2(a∈R)在x＝－处取得极值.(1)确定a的值；(2)若g(x)＝f(x)ex，求函数g(x)的单调减区间.解　(1)对f(x)求导得f′(x)＝3ax2＋2x，因为f(x)在x＝－处取得极值，所以f′＝0，即3a·＋2·＝－＝0，解得a＝.(2)由(1)得g(x)＝ex，故g′(x)＝x(x＋1)(x＋4)ex.令g′(x)<0，即x(x＋1)(x＋4)<0，解得－1

5、)的定义域；(2)求f′(x)；(3)在定义域内解不等式f′(x)>0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f′(x)<0，得单调递减区间.2.若所求函数的单调区间不止一个时，用“，”与“和”连接.考点二　讨论函数的单调性【例2】（2020·青海省高三一模）设函数（1）讨论的单调性；（2）若有最大值-ln2，求m+n的最小值.【解析】（1）函数定义域为，当时，，∴在上单调递增；当时，得，∴在上单调递增；在上单调递减.(2)由（1）知，当时，在上单调递增；在上单调递减.∴∴，∴令则∴在上单调递减，在上单调递增，∴.规律方法　1.(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的

6、影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点.2.个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数.考点三　函数单调性的简单应用　【例3－1】已知函数y＝f(x)对于任意的x∈满足f′(x)cosx＋f(x)sinx＝1＋lnx，其中f′(x)是函数f(x)的导函数，则下列不等式成立的是(　　)A.ffC.f>fD.f>f【例3－2】已知函数f′(x)是函数f(x)的导函数，f(1)＝，对任意实数都有f(x)－f′(x)>0，设F

7、(x)＝，则不等式F(x)<的解集为(　　)A.(－∞，1)B.(1，＋∞)C.(1，e)D.(e，＋∞)解析　(1)令g(x)＝，则g′(x)＝＝.由解得，所以g>g，所以>，即f>f.(2)F′(x)＝＝，又f(x)－f′(x)>0，知F′(x)<0，∴F(x)在R上单调递减.由F(x)<＝F(1)，得x>1，所以不等式F(x)<的解集为(1，＋∞).规律方法　1.利用