全国版2019版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第11讲导数在研究函数中的应用学案

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1、全国版2019版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第11讲导数在研究函数中的应用学案板块一　知识梳理·自主学习[必备知识]考点1　函数的导数与单调性的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导：(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数．考点2　函数的极值与导数1．函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，且f′(a)＝0，而且在x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞

2、0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值；2．函数的极大值与极大值点若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，且f′(b)＝0，而且在x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值．考点3　函数的最值与导数1．函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．2．求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．(2)将函数y＝f

3、(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．[必会结论]1．若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]内一定有最值．2．若函数f(x)在[a，b]内是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．3．若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x2－lnx的单调减区间为(－1,1)．(　　)(2)在函数y＝f(x)中，若f′(x0)＝0，则x＝x0一定是函数y＝f(x)的极

4、值．(　　)(3)函数的极大值不一定比极小值大．(　　)(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(　　)答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√2．[课本改编]函数y＝x2(x－3)的单调递减区间是(　　)A．(－∞，0)B．(2，＋∞)C．(0,2)D．(－2,2)答案　C解析　y′＝3x2－6x，由y′＜0，得0＜x＜2.3．[课本改编]设函数f(x)＝＋lnx，则(　　)A．x＝为f(x)的极大值点B．x＝为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点答案　D解析　f′(x)＝－＋＝，∵x>

5、0，∴当x>2时，f′(x)>0，f(x)是增函数；当0f(－1

6、)．故选D.5．[xx·浙江高考]函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)答案　D解析　观察导函数f′(x)的图象可知，f′(x)的函数值从左到右依次为小于0，大于0，小于0，大于0，∴对应函数f(x)的增减性从左到右依次为减、增、减、增．观察选项可知，排除A，C.如图所示，f′(x)有3个零点，从左到右依次设为x1，x2，x3，且x1，x3是极小值点，x2是极大值点，且x2>0，故选项D正确．故选D.6．[课本改编]函数f(x)＝x3－x2－3x－1的图象与x轴的交点个数是________．答案　3解析　

7、f′(x)＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)，函数在(－∞，－1)和(3，＋∞)上是增函数，在(－1,3)上是减函数，由f(x)极小值＝f(3)＝－10＜0，f(x)极大值＝f(－1)＝＞0，知函数f(x)的图象与x轴的交点个数为3.板块二　典例探究·考向突破考向　利用导数研究函数的单调性例　1　[xx·大庆模拟]已知函数f(x)＝alnx＋x2＋(a＋1)x＋3.(1)当a＝－1时，求函数f(x)的单调递减区间；(2)若函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．解　(1)当a＝－1时，f(x)＝－lnx＋＋3，定义域为(0，＋∞)．

8、则f′(x)＝－＋x.由得0＜x＜1.所以函数f(x