2021届新高考数学一轮专题复习（新高考版）第37讲 直线与方程（讲义版）.doc

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1、第37讲直线与方程一、考情分析1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.二、知识梳理1.直线的倾斜角(1)定义：x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角.(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；(3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π).2.直线的斜率(1)定义：直线y＝kx＋b中的系数k

2、叫做这条直线的斜率，垂直于x轴的直线斜率不存在.(2)计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k＝(x1≠x2).若直线的倾斜角为θ(θ≠)，则k＝tan__θ.3.直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率y＝kx＋b与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率y－y0＝k(x－x0)两点式过两点＝与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距＋＝1不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)所有直线[微点提醒]1.直线的斜率k和倾斜角α之间的函数关系：2.求直线方程时要注意判断直线斜率是否

3、存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率.3.截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点.一、经典例题考点一　直线的倾斜角与斜率　【例1】(1)直线2xcosα－y－3＝0的倾斜角的取值范围是(　　)A.B.C.D.(2)(一题多解)(经典母题)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________.【答案】　(1)B　(2)(－∞，－]∪[1，＋∞)【解析】　(1)直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα，因为α∈，所以≤cosα≤，因此k＝

4、2cosα∈[1，].设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1，].又θ∈[0，π)，所以θ∈，即倾斜角的取值范围是.(2)法一　设PA与PB的倾斜角分别为α，β，直线PA的斜率是kAP＝1，直线PB的斜率是kBP＝－，当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞).当直线l由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－].故斜率的取值范围是(－∞，－]∪[1，＋∞).法二　设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.∵A，B两点在直线l的两侧或其中一

5、点在直线l上，∴(2k－1－k)(－－k)≤0，即(k－1)(k＋)≥0，解得k≥1或k≤－.即直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－]∪[1，＋∞).【迁移探究1】若将例1(2)中P(1，0)改为P(－1，0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围.【解析】设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0.∵A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，∴(2k－1＋k)(－＋k)≤0，即(3k－1)(k－)≤0，解得≤k≤.即直线l的斜率的取值范围是.【迁移探究2】若将例1(2)中的B点坐标改为B(2，－1)，其他条件不变，求直线l倾斜

6、角的取值范围.【解析】　由例1(2)知直线l的方程kx－y－k＝0，∵A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，∴(2k－1－k)(2k＋1－k)≤0，即(k－1)(k＋1)≤0，解得－1≤k≤1.即直线l倾斜角的取值范围是∪.规律方法　1.由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，常借助正切函数y＝tanx在[0，π)上的单调性求解，这里特别要注意，正切函数在[0，π)上并不是单调的.2.过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率范围时，应注意倾斜角为时，直线斜率不存在.考点二　直线方程的求法【例2】求适合下列条件的直

7、线方程：(1)经过点P(4，1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍；(3)经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.【解析】　(1)设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0，0)和(4，1)，所以l的方程为y＝x，即x－4y＝0.若a≠0，则设l的方程为＋＝1，因为l过点(4，1)，所以＋＝1，所以a＝5，所以l的方程为x＋y－5＝0.综上可知，直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.(2)由已知设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.因为tanα＝3，所

8、以tan2α＝＝－.又直