2021届新高考数学一轮专题复习（新高考版）第41讲 椭圆（讲义版）.doc

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1、第41讲椭圆一、考情分析1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.二、知识梳理1.椭圆的定义平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于

2、F1F2

3、)的点的轨迹（或集合）叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.其数学表达式：集合P＝{M

4、

5、MF1

6、＋

7、MF2

8、＝2a}，

9、F1F2

10、＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集.2.椭圆的标

11、准方程和几何性质标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距

12、F1F2

13、＝2c离心率e＝∈(0，1)a，b，c的关系c2＝a2－b2[微点提醒]点P(x0，y0)和椭圆的位置关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔＋<1；(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔＋

14、＝1；(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔＋>1.一、经典例题考点一　椭圆的定义及其应用【例1】(1)如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是(　　)A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆(2)设P为椭圆C：＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，若

15、PF1

16、∶

17、PF2

18、＝3∶4，那么△GPF1的面积为(　　)A.24B.12C.8D.6解析　(1)连接QA.由已知得

19、QA

20、＝

21、QP

22、.所以

23、QO

24、＋

25、QA

26、

27、＝

28、QO

29、＋

30、QP

31、＝

32、OP

33、＝r.又因为点A在圆内，所以

34、OA

35、＜

36、OP

37、，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆.(2)∵P为椭圆C：＋＝1上一点，

38、PF1

39、∶

40、PF2

41、＝3∶4，

42、PF1

43、＋

44、PF2

45、＝2a＝14，∴

46、PF1

47、＝6，

48、PF2

49、＝8，又∵

50、F1F2

51、＝2c＝2＝10，∴易知△PF1F2是直角三角形，S△PF1F2＝

52、PF1

53、·

54、PF2

55、＝24，∵△PF1F2的重心为点G，∴S△PF1F2＝3S△GPF1，∴△GPF1的面积为8.答案　(1)A　(2)C规律方法　(1)椭圆定义的应用主要有：判断平面

56、内动点的轨迹是否为椭圆，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题.考点二　椭圆的标准方程【例2】(1)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)A.－＝1B.＋＝1C.－＝1D.＋＝1(2)若椭圆经过两点(2，0)和(0，1)，则椭圆的标准方程为________________.解析　(1)设圆M的半径为r，则

57、MC1

58、＋

59、MC2

60、＝(13－r)＋(3＋

61、r)＝16>8＝

62、C1C2

63、，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16，2c＝8，所以a＝8，c＝4，b＝＝＝＝4，故所求的轨迹方程为＋＝1.(2)法一　当椭圆的焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程为＋＝1(a>b>0).∵椭圆经过两点(2，0)，(0，1)，∴　解得∴所求椭圆的标准方程为＋y2＝1；当椭圆的焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为＋＝1(a>b>0).∵椭圆经过两点(2，0)，(0，1)，∴　解得与a>b矛盾，故舍去.综上可知，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.法二　设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n

64、).∵椭圆过(2，0)和(0，1)两点，∴　解得综上可知，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.答案　(1)D　(2)＋y2＝1规律方法　根据条件求椭圆方程的主要方法有：(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可.考点三　椭圆的几何性质　角度1　椭圆的长轴、短轴、焦距【例3－1】已知椭圆＋＝1的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于

65、(　　)A.8B.7C.6D.5解析　因为椭圆＋＝1的长轴在x轴上，所以解得6