2021届新高考数学一轮专题复习（新高考版）第43讲 抛物线（讲义版）.doc

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1、第43讲抛物线一、考情分析1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.二、知识梳理1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.(2)其数学表达式：{M

2、

3、MF

4、＝d}(d为点M到准线l的距离).2.抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O(0，0)对称轴y＝0x＝0焦

5、点FFFF离心率e＝1准线方程x＝－x＝y＝－y＝范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下[微点提醒]1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦.2.抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离

6、PF

7、＝x0＋，也称为抛物线的焦半径.一、经典例题考点一　抛物线的定义及应用【例1】(1)已知抛物线x2＝2y的焦点为F，其上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)满足

8、AF

9、－

10、BF

11、＝2，则y1＋x－y2－x＝(　　)A.4B.6C.8D.10(2)若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点

12、，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是(　　)A.2B.C.D.3解析　(1)由抛物线定义知

13、AF

14、＝y1＋，

15、BF

16、＝y2＋，∴

17、AF

18、－

19、BF

20、＝y1－y2＝2，又知x＝2y1，x＝2y2，∴x－x＝2(y1－y2)＝4，∴y1＋x－y2－x＝(y1－y2)＋(x－x)＝2＋4＝6.(2)由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离，∴点P到准线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点F(1，0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即＝2.答案　(1)B　

21、(2)A规律方法　应用抛物线定义的两个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x0，y0)到焦点F的距离

22、PF

23、＝

24、x0

25、＋或

26、PF

27、＝

28、y0

29、＋.考点二　抛物线的标准方程及其性质【例2】(1)抛物线C：y2＝4x的焦点为F，其准线l与x轴交于点A，点M在抛物线C上，当＝时，△AMF的面积为(　　)A.1B.C.2D.2(2)已知圆C1：x2＋(y－2)2＝4，抛物线C2：y2＝2px(p>0)，C1与C2相交于A，B两点，且

30、AB

31、＝，则抛物线C2的方程为(　　)A.y2＝xB.y2＝xC.y2＝xD.y2＝x解析　(

32、1)过M作MP垂直于准线，垂足为P，则＝＝＝，则cos∠AMP＝，又0°<∠MAP<180°，则∠AMP＝45°，此时△AMP是等腰直角三角形，设M(m，)，由

33、MP

34、＝

35、MA

36、，得

37、m＋1

38、＝，解得m＝1，M(1，2)，所以△AMF的面积为×2×2＝2.(2)由题意，知直线AB必过原点，则设AB的方程为y＝kx(易知k>0)，圆心C1(0，2)到直线AB的距离d＝＝＝，解得k＝2，由得或把代入抛物线方程，得＝2p·，解得p＝，所以抛物线C2的方程为y2＝x.答案　(1)C　(2)C规律方法　1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经

39、确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.2.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.考点三　直线与抛物线的综合问题【例3】(2019·武汉调研)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)和定点M(0，1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线交点为N.(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；(2)若△ABN面积的最小值为4，求抛物线C的方程.解　(1)可设AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将AB的方程代入抛物线C，得x

40、2－2pkx－2p＝0，显然方程有两不等实根，则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.①又x2＝2py得y′＝，则A，B处的切线斜率乘积为＝－＝－1，则有p＝2.(2)设切线AN为y＝x＋b，又切点A在抛物线y＝上，∴y1＝，∴b＝－＝－，切线AN的方程为yAN＝x－，同理切线BN的方程为yBN＝x－.又∵N在yAN和yBN上，∴解得N.∴N(pk，－1).

41、AB

42、＝

43、x2－x1

44、＝，点N到直线AB的距离d＝＝，S△ABN＝·

45、AB

46、·d＝≥2，∴2＝4，