2021届新高考数学一轮专题复习（新高考版）第39讲 圆与方程（解析版）.doc

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1、第39讲圆与方程一、考情分析1、掌握确定圆的几何要素；2、掌握圆的标准方程与一般方程.二、知识梳理1.圆的定义和圆的方程定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆方程标准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心C(a，b)半径为r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)充要条件：D2＋E2－4F＞0圆心坐标：半径r＝2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：(1)

2、MC

3、＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－

4、b)2＞r2⇔M在圆外；(2)

5、MC

6、＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；(3)

7、MC

8、＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内.[微点提醒]1.圆心在坐标原点半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2.2.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.三、经典例题考点一　圆的方程【例1】(1)(一题多解)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为_______

9、_________.(2)(一题多解)已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，则圆C的方程为________.【答案】(1)x2＋y2－2x＝0　(2)(x－1)2＋(y＋1)2＝2【解析】　(1)法一　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则解得D＝－2，E＝0，F＝0，故圆的方程为x2＋y2－2x＝0.法二　设O(0，0)，A(1，1)，B(2，0)，则kOA＝1，kAB＝－1，所以kOA·kAB＝－1，即OA⊥AB，

10、所以△OAB是以角A为直角的直角三角形，则线段BO是所求圆的直径，则圆心为C(1，0)，半径r＝

11、OB

12、＝1，圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.(2)法一　∵所求圆的圆心在直线x＋y＝0上，∴设所求圆的圆心为(a，－a).又∵所求圆与直线x－y＝0相切，∴半径r＝＝

13、a

14、.又所求圆在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，圆心(a，－a)到直线x－y－3＝0的距离d＝，∴d2＋＝r2，即＋＝2a2，解得a＝1，∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.法二　设所求圆的方程为(x－a)2＋

15、(y－b)2＝r2(r>0)，则圆心(a，b)到直线x－y－3＝0的距离d＝，∴r2＝＋，即2r2＝(a－b－3)2＋3.①由于所求圆与直线x－y＝0相切，∴(a－b)2＝2r2.②又∵圆心在直线x＋y＝0上，∴a＋b＝0.③联立①②③，解得故圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.法三　设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心为，半径r＝，∵圆心在直线x＋y＝0上，∴－－＝0，即D＋E＝0，①又∵圆C与直线x－y＝0相切，∴＝，即(D－E)2＝2(D2＋E2－4F)，∴D2＋E2＋2DE－

16、8F＝0.②又知圆心到直线x－y－3＝0的距离d＝，由已知得d2＋＝r2，∴(D－E＋6)2＋12＝2(D2＋E2－4F)，③联立①②③，解得故所求圆的方程为x2＋y2－2x＋2y＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.规律方法　求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；(2)代数法，即

17、设出圆的方程，用待定系数法求解.考点二　与圆有关的最值问题　角度1　斜率型、截距型、距离型最值问题【例2－1】已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求的最大值和最小值；(2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值.【解析】　原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆.(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±(如图1).所以的最大值为，最小值为－.(2

18、)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±(如图2).所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3).又圆心到原点的距离为＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2