宏观经济数量分析方法03-最优化理论初步.doc

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1、第三章最优化理论初步§3.1基本问题最优化要解决的基本问题是：i=1，2，…，mj=1，2，…，n其中，，f，gi，hj都定义在开集。f称为目标函数，gi，hj称为约束条件。无约束条件的优化问题称为无约束极值问题，带有约束条件的优化问题称为约束极值问题。最优化理论研究的主要内容：1）解的存在性条件；2）近似算法。常用的四种方法：1）Lagrange方法；2）差分方法；3）极大极小原理（Pontryagin原理）；4）动态规划（Bellmen方法）。基本定理Kuhn-Tucker定理§3.2基础知识1）梯度Hesse矩阵，i，j=1，2，…，n2）凸分析初步凸集的定

2、义设S是Rn空间中的一个子集，若对任意的，及任意的，有则称S是Rn空间中的凸集。凸集的性质：1、凸集的交集也是凸集；2、定义集合称为的线性和。设，都是Rn空间中的凸集，则也是Rn空间中的凸集；3、设，都是Rn空间中的凸集，则它们的笛卡尔积也是Rn空间中的凸集。凸函数和凹函数的定义：定义：设f是定义在Rn空间中的凸集S上的实值函数，若对和，有则称f是定义在S上的凹函数。若有则称f是定义在S上的凸函数。若对任意的，上述不等式都是严格的不等式，则称函数为严格凹（凸）函数。一元凸（凹）函数的几何意义是曲线上任意两点的连线都在曲线的上（下）方。如图。注意：1、线性函数是唯一

3、一个既是凹函数，有是凸函数的函数。2、一个函数有无凸性，与它的定义域有关，如函数。凹函数的一些常用性质：1、设f是定义在凸集S上的实值函数，则对于，集合是凸集；2、凹函数的非负线性组合仍是凹函数，即对于，，若，是凹函数，则也是凹函数；3、设S是Rn空间中的凸集，f是S上的实值凹函数的必要充分条件是对任意正数k，及任意的，，且，有4、设S是Rn空间中的凸集，f是S上的实值可微函数，f是凹函数的必要充分条件是对任意的，5、设S是Rn空间中的开凸集，f是S上的实值二阶可微实值函数，则i.f在S上是凹的，当且仅当对，是半负定的；ii.如果对，是负定的，则f在S上是严格凹的

4、；iii.f在S上是凸的，当且仅当对，是半正定的；iv.如果对，是正定的，则f在S上是严格凸的。设有生产函数。其中，x表示n个要素的投入量，y表示单一产品的产出。假设f是凹函数，则由性质5，对，且，有和取定i，对任意的，令，然后，让i遍取1，2，…，n，则有。设，则对，有即f对每个变量的偏导数都是非增的。这说明如果生产函数是凹的，则任何要素的边际产出都是非增的。特别地，若f是严格凹函数，则任何要素的边际产出都是递减的。如果f代表消费者的效用函数，则效用函数的凹性假设表明效用边际递减的特性。若进一步假定生产（效用）函数是二阶可微的，则可直接得到产出（效用）的非增性质

5、。3）无约束极值问题一阶必要条件：；二阶充分条件：正定极小；负定极大。4）等式约束与Lagrange方法问题：，i=1，2，…，m或者，令，则上面的问题可以改写为通常假设连续可微。设，令称为原问题的Lagrange函数。容易证明，L的无约束极值点中的是原问题的约束极值点。证明该结论的基本思想：（为简化记号，以两个变量，一个约束为例）设问题为假设由约束中可以将y解出来，记为y=k（x）。将它带入目标函数，有这样，就把约束极值问题转变为无约束极值问题了。根据极值的一阶必要条件，有注意到，在隐函数中，y对x导数为带入上式，有整理得并引入新记号则极值点的必要条件可以写为上

6、面的三个式子正是Lagrange函数的偏导数。在L的最优解中，称是原问题的Lagrange乘子，在经济研究中，也称为影子价格。影子价格的经济意义：假设目标函数代表利润函数，约束条件表示需投入的资源及限额。则影子价格表示在最优生产计划处，再增加一单位的资源所带来的利润。可以证明，是函数的极小值点，是函数的极大值点。一般来说，设有函数，若点满足条件：则称是函数的鞍点。5）最大最小问题在最优化理论中，我们要寻找最大值或最小值，但是，给出的条件仅仅是极值点的条件。其原因如图。为了保证极值点也是最值点，需要增加一个条件，即凸性假设。大多数极值点的必要条件，增加凸性条件后，就

7、变成了必要充分条件了。§3.3有不等式约束的极值问题记，，则一般的最优化模型可以简写为（P）解决该问题的难点：极值点有可能在处取得。一阶Kuhn-Tucker条件（必要条件）设是问题（P）的解，在处可微，在处连续可微，线性独立，且存在，满足条件：若，则和，j=1，2，…，p，则存在，，使得i=1，2，…，m（松弛条件）在这里，也是影子价格。松弛条件的意义：假设在处，，这意味着在最优处，第i种资源有多余的。因此，影子价格为0；若，这意味着在最优处，第i种资源是紧缺的，是一个瓶颈，故其影子价格大于0。例1：引入与无约束极值问题同样的Lagrange函数，则它的T-K条

8、件是i=1