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《宏观经济数量分析方法03-最优化理论初步》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第三章最优化理论初步§3.1基本问题最优化要解决的基本问题是：min/（x）s.t.<0匸1,2,…，mh^x）=0j=,2,…，n其中,xeR/,gi，hj都定义在开集DuR“。f称为目标函数,gi，hj称为约束条件。无约束条件的优化问题称为无约束极值问题,带有约束条件的优化问题称为约束极值问题。最优化理论研究的主要内容：1）解的存在性条件；2）近似算法。常用的四种方法：1）Lagrange方法；2）差分方法；3）极大极小原理（Pontryagin原理）;4）动态规划（Bellmen方法）。基本定
2、理Kuhn-Tucker定理§3.2基础知识“梯度“野怕Hesse矩阵(d2fd2fdfdxxdx2dxxdxnd2fd2fd2f8x2dx}dxf•••dx2dxnd2f82f82fdxndx22)凸分析初步凸集的定义设S是疋空间中的一个子集，若对任意的x,ywS,及任意的OW0W1,有0x+(l+0)ygS则称S是疋空间中的凸集。凸集的性质：1、凸集的交集也是凸集；2、定义集合S={z:z=坷兀]+a2x2+•••+atJxn,x.wS,,qgRJ=1,2,•…，n}称为S,的线性和。设S’，心1
3、,2,…/都是疋空间小的凸集，贝9也是疋空间中的凸集;3、设S"=l,2,…丿都是R"空间中的凸集，则它们的笛卡尔积也是疋空间中的凸集。凸函数和凹函数的定义：定义：设/是定义在疋空间中的凸集S上的实值函数，若对Vx,ye5和OW0W1,f[Ox4-(1-0)刃>0f(x)+(1—&)/(刃则称/是定义在S上的凹函数。若有y如(1_0)刃<+(l-O)f(y)则称/是定义在S上的凸函数。若对任意的V兀,ywS,上述不等式都是严格的不等式，则称函数为严格凹(凸)函数。-元凸(凹)函数的几何意义是曲线上任意两
4、点的连线都在曲线的上(下)方。如图。注意:1、线性函数是唯一一个既是凹函数，有是凸函数的函数。2、一个两数有无凸性，与它的定义域有关，如函数y=sinxo凹函数的一些常用性质：1、设/是定义在凸集S上的实值函数，则对于PawR,集合｛x:xeS,f(x)>a｝是□集；2、凹函数的非负线性组合仍是凹函数，即对于6Z,.>0,i=,2,…,k,若i=,2,…,k是凹函数,则aj+a2f2+…+必也是凹函数;3、设S是用空间中的凸集，/是S上的实值凹函数的必要充分条件是对任意正数匕及任意的Xj丘s,qno
5、,_i=Lq+&+…+q,=i,启f©x、+&2吃+…+&內)》+2/(勺)+…+©/(“)4、设S是疋空间中的凸集，/是S上的实值可微函数，/是凹函数的必要充分条件是对任意的无,兀］GS,▽几=勺4-兀0)»/(兀J-/(兀o)5、设S是疋空间中的开凸集，/是S上的实值二阶可微实值函数，则i./在S上是凹的，当且仅当对Vxg5,V2/(x)是半负定的；ii.如果对VxeS,V2/(x)是负定的，则/在S上是严格凹的；iii./在S上是凸的，当且仅当对VxeS,V2/(x)是半正定的；iv.如果对V%g
6、S,V2/(x)是正定的，则/在S上是严格凸的。设冇生产函数y=/(x)o其中，兀表示n个要素的投入量，y表示单一产品的产出。假设/是凹函数，则由性质5,对且兀°H西，有巧(现=勺4-兀。)》/(西)-/(皿)和V/(x)LO>o-Xj)>/(兀°)-/Ui)取定几对任意的丿Hi,令兀八二®。，然后，让/遍取1,2,…，弘则有设xi>x/o则对i=12…丿，有Mg)殍(讥0dxjdxj即/对每个变量的偏导数都是非增的。这说明如果牛产函数是凹的，则任何要索的边际产出都是非增的。特别地，若/是严格凹函数，
7、则任何要素的边际产出都是递减的。如果/•代表消费者的效用函数，则效用函数的凹性假设表明效用边际递减的特性。若进一步假定生产(效用)函数是二阶可微的，则可直接得到产出(效用)的非增性质。2)无约束极值问题一阶必耍条件：v/(£)=o；二阶充分条件：v2/(x*)正定=>极小；v2/(Z)负定=>极大。3)等式约束与LagnwzgE方法问题：min/(x)S.t.gj(x)=0,z=l,2,…，m或者,令g(x)=(g[(x),…,g加(兀))丁，则上面的问题可以改写为min/(兀)Mg(x)=O通常假设g
8、(Q连续町微。设AeRm,令L(x,2)=/(x)+^g(x)称为原问题的Lagrange函数。容易证明，厶的无约束极值点(xZ)中的T是原问题的约束极值点证明该结论的基本思想：(为简化记号，以两个变量，一个约束为例)设问题为minz=/(x,y)s・t・g(x,y)=O假设由约束中可以将y解出来，记为y=k3。将它带入目标函数，有2=/(x,y)=/(x,k(x))这样，就把约束极值问题转变为无约束极值问题了。根据极值的一阶必要条件，冇
