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1、导数题1-251、已知函次，，（，…），且在处取得极值。（1）求的值和的极小值；（2）规定：一个函数在区间上有意义，且对任意，，都有，则称函数是区间上的“凹函数”，利用此规定证明：是上的凹函数；（3）已知的三个顶点都在函数的图象上，且横坐标依次成等差数列，求证：是钝角三角形，但不可能是等腰三角形。1的答案：解：（1），依题设，，∴，∴∴…………………（2分）由，得或当时，，当时，当时，，∴时，…………（4分）（2）∵∴∵，∴…………………………………（6分）∴∴∴，故是的凹函数……………（8分）（3）恒
2、成立，∴在上单位调递减设且，则，且∴，∴∵，，，∴，故为钝角，∴为钝角三角形………………………（10分）若是等腰三角形，则只可能是即∵，∴∴，即这与是凹函数矛盾，故不能为等腰三角形…………………………（12分）2、设是函数的一个极值点.（Ⅰ）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；（Ⅱ）设，,若存在使得成立，求的取值范围.2的答案：本题的第（Ⅱ）“若存在使得成立，求的取值范围.”如何理解这一设问呢？如果函数在的值域与在的值域的交集非空，则一定存在使得成立，如果函数在的值域与在的值域的交集是空集，只要这两
3、个值域的距离的最小值小于1即可.由（Ⅰ）可得,函数在的值域为,又在的值域为,存在使得成立，等价于或，容易证明,.于是,.3、已知函数（1）求的单调区间和值域；（2）设，函数,若对于任意,总存在使得成立，求a的取值范围.3的答案：（1）对函数求导，得令解得可以求得，当时，是减函数；当时，是增函数.当时，的值域为.（2）对函数求导，得因为，当时，因此当时，为减函数，从而当时有又即时有的值域为是如何理解“任给，，存在使得”，实际上，这等价于值域是值域的子集，即这就变成一个恒成立问题，的最小值不小于的最小值，的
4、最大值不大于的最大值①②即解①式得；解②式得又，故a的取值范围为4、已知是函数的一个极值点，其中。（I）求与的关系式；（II）求的单调区间；（III）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3，求的取值范围.4的答案.分析一：前面两小题运用常规方法很快可以得到，(I)（II）当时，在单调递减，在单调递增，在上单调递减.（III）为对恒成立，即3(－1)［－(1+)］>3∵<0，∴(－1)［－(1+)］<1(*)1°=1时，(*)化为0<1恒成立，∴<02°≠1时，∵［－1,1］，∴－2≤－1<0运用函
5、数思想将(*)式化为<(－1)－，令=－1，则［－2,0］，记，则在区间［－2,0］是单调增函数；∴由(*)式恒成立，必有，又<0，则综合1°、2°得分析二：（III）中的，即对恒成立，∵∴即①运用函数思想将不等式转化为函数值大于0，设，再运用数形结合思想，可得其函数开口向上，由题意知①式恒成立，∴解之得又所以即的取值范围为。5、设函数，．（Ⅰ）当时，证明在是增函数；（Ⅱ）若，，求的取值范围．5的答案解：（1），当时,,---------2分令，则，当时，，所以在为增函数，因此时，，所以当时，，则在是增
6、函数.---------6分(2)由,由(1)知,当且仅当等号成立.故,从而当,即时,对,,于是对.由得,从而当时,故当时,,于是当时,,综上,的取值范围是.---------12分6、设函数.（1）若函数在x=1处与直线相切.①求实数a，b的值；②求函数上的最大值.（2）当b=0时，若不等式对所有的都成立，求实数m的取值范围.6、无答案7、已知函数⑴当时，若函数存在零点，求实数的取值范围并讨论零点个数；⑵当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围.7的答案:⑴令，函数图象的对称轴为直线，要使在
7、上有零点，则即所以所求实数a的取值范围是.……3分当时，2个零点；当或，1个零点……………7分⑵当时，所以当时，，记.由题意，知，当时，在上是增函数，，记.由题意，知解得……9分当时，在上是减函数，，记.由题意，知解得……11分综上所述，实数m的取值范围是……..12分8、函数f（x）=alnx+1（a>0）．（Ⅰ）当x>0时，求证：f（x）－1≥a(1－）；（II）在区间（1，e）上f（x）>x恒成立，求实数a的范围；（Ⅲ）当a=时，求证：f（2）+f（3）+…+f（n+1）>2（n+1－）（n∈N*
8、）．8的答案9、已知函数.（1）当时，求函数在上的最大值；（2）令，若在区间上不单调，求的取值范围；（3）当时，函数的图象与轴交于两点，且，又是的导函数.若正常数满足条件.证明：.9的答案解（1）函数在[,1]是增函数，在[1,2]是减函数，……………3分所以．……4分（2）因为，所以，……5分因为在区间上不单调，所以在（0，3）上有实数解，且无重根，由，有=，（）……6分又当时，有重根，……7分综上……8分（3）∵，又有两个实根，∴，两式
