微积分二期末复习.doc

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1、期末复习指导第五章不定积分1.积分的概念、性质若，则称是的一个原函数。不定积分与导数或微分互为逆运算。（1）不定积分的导数（或微分）等于被积函数（或被积表达式）：（2）对一个函数的导数（或微分）求不定积分，其结果与这个函数仅相差一个积分常数：。2.不定积分和定积分的第一类换元法注：（1）第一换元法又称为“凑微分法”（即“凑”复合函数的中间变量的导数），可以不设代换完成；（2）不定积分与积分变量有关，故需要“回代”变量；而定积分与积分变量无关，运算时不需要“回代”；3.不定积分、定积分的第二类换元法a、根式代换题型：被积函数

2、中含有根式的形式（被开方式为线性函数）解题思路：“去根号”；解题方法：令，解出，有；特别地，，解出，有；代换原则：由左至右、依次代换、一次完成；b、代换题型：被积函数中含有根式的形式（被开方式为线性二次函数）解题思路：“去根号”；解题方法：（1）含有的形式：令，有；（2）含有的形式：令，有；（3）含有的形式：令，有；代换原则：由左至右、依次代换、一次完成；例题：注：不定积分与积分变量有关；而定积分与积分变量无关。4.不定积分、定积分的分部积分法a、不定积分的分部积分公式：；定积分的分部积分公式：。b、上式中的的“优先次序”

3、：例题：1、2、3、4、5．6．7．第六章定积分1.理解定积分的概念，知道定积分与不定积分的区别。函数的不定积分是求导和求微分运算的逆运算。函数在上的定积分是一个和式的极限，是一个确定的数，这个数只与被积函数及积分区间有关。2.理解并记住定积分的基本性质。3.理解变上限定积分的概念，熟练掌握求变上限定积分的导数的方法：4.熟练掌握用牛顿—莱布尼兹公式求定积分的方法。牛—莱公式将定积分与不定积分这两个截然不同的概念联系起来，求定积分的值，只需求出被积函数的一个原函数，再应用牛—莱公式即可。因而计算定积分也与求不定积分类似，有

4、直接积分法，换元积分法，分部积分法。5.熟练掌握定积分的换元积分法，分部积分法。注意：用换元法求定积分时，换元必换限，无需还元；若是凑微分而不显示“换元”，则积分限不作变换。定积分适用分部积分的类型及、的选择都与不定积分类似，唯一的区别是定积分的分部积分公式中每一项都带着积分上、下限，而且为了减少出错，要及时计算出的值。6.熟记奇偶函数在对称区间上的积分的性质。7．熟练掌握用定积分求平面图形的面积及平面图形绕坐标轴旋转而成的旋转体的体积。8.广义积分的定义和求解。例题：1．求，其中．2．1．已知,求．3．判断的敛散性．若收

5、敛，求其值．4．判断的敛散性 ．若收敛，求其值．5．已知，对于给定的，计算．6.设函数在上连续，且满足，试求．7.已知在上连续，试证：．8．曲线，围成一封闭的平面图形，试求：1）该图形的面积；2）该图形绕轴旋转一周所成立体的体积．9．1）写出定积分的数学定义；2）已知某地区居民各自的税前收入（单位：十万元）介于到之间。收入为的居民占总人数的比例为，并且需要缴纳个人所得税，试求该地区居民的税后人均收入．10.按照“分割、近似代替、求和、取极限”的四个步骤，计算由抛物线，直线，以及轴所围成的平面图形的面积.(6分)第八章多元函

6、数1.理解多元函数的概念，会求二元函数的定义域；2.熟练掌握二元函数一阶及二阶偏导数的计算，会求二元函数的全微分；3.熟练掌握多元复合函数的链式求导法，特别是抽象复合函数的偏导数求导法；4.熟练掌握利用多元复合函数求导法导出的隐函数求导公式：若可确定隐函数则求时，均视为地位平等的自变量。即求时，视为常数，其余类似。5.掌握二元函数极值的概念及判断法,能熟练用拉格朗日乘数法求多元(二,三元)函数的条件极值.6.理解二重积分的概念，掌握并理解二重积分的基本性质；7.熟练掌握二重积分在直角坐标系下化为二次积分进行计算的方法，并能

7、熟练把一种次序的二次积分交换为另一种次序的二次积分。8.会用二重积分求平面区域的面积。例题：1.设，求．2.已知，求．3．设由方程所确定，求4．求，其中．5．试求由曲面，，所围成的封闭立体的体积．6．设由方程所确定．试求：（7分）1）；2）的近似值（结果保留至小数点后两位）．7．求的极值，并指明极大值还是极小值．（6分）8．求，其中由，围成．（6分）9．交换积分次序，并计算出结果．（6分）10．（8分）漂流到孤岛上的鲁滨逊为了生存，需要在椰子采摘与捕鱼两项食物获取活动上分配精力。鲁滨逊的健康水平记为，其收获的椰子和鱼的数量

8、分别记为和，三者之间满足。受制于自身的技能与自然资源，他能够获取的椰子和鱼在数量上满足。试问：椰子采摘量和鱼的捕捞量各自多少时，能为鲁滨逊带来最高的健康水平？11.某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入固定成本10（万元）。设该企业生产甲、乙两种型号的产品分别为（件）和（件），且这两种产品的边际成本分别