基本不等式---求最值的常见技巧.doc

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1、基本不等式---求最值的常见技巧【理论解析】一个技巧：逆用就是，逆用就是等．两个变形：(1),即调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数；（当且仅当时取等号）(2)（当且仅当时取等号)．三个注意“一正、二定、三相等”的忽视．【解题方法技巧举例】1、添、减项（配常数项）　　例1求函数的最小值.　　当且仅当，即时,等号成立.所以的最小值是.　2、配系数（乘、除项）　　例2已知，且满足，求的最大值.　　分析,是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式是否定值，　　而已知是与的和为定值，故应先配系数，即将变形为

2、，再用均值不等式.　　　当且仅当，即时，等号成立.所以的最大值是.　3、裂项例3已知，求函数的最小值.　　分析在分子的各因式中分别凑出，借助于裂项解决问题.　　当且仅当，即时，取等号.　　所以.　　4、取倒数　例4已知，求函数的最小值.　　分析分母是与的积，可通过配系数，使它们的和为定值；也可通过配系数，使它们的和为(这是解本题时真正需要的).于是通过取倒数即可解决问题.　　解由，得，.　当且仅当，即时，取等号.　　故的最小值是.　　5、平方　　例5已知且求的最大值.　　分析条件式中的与都是平方式，而

3、所求式中的是一次式，是平方式但带根号.初看似乎无从下手，但若把所求式平方，则解题思路豁然开朗，即可利用均值不等式来解决.当且仅当，即，时，等号成立.　　故的最大值是.　　评注本题也可将纳入根号内，即将所求式化为，先配系数，再运用均值不等式的变式.　　6、换元（整体思想）　　例6求函数的最大值.　　分析可先令，进行换元，再使分子常数化，然后运用均值不等式来解决.　　　　7、逆用条件　　例7已知,则的最小值是（）.　　分析直接利用均值不等式，只能求的最小值，而无法求的最小值.这时可逆用条件，即由，得，然后

4、展开即可解决问题.　评注若已知(或其他定值)，要求的最大值，则同样可运用此法.　　8、巧组合　　例8若且,求的最小值.　　分析初看，这是一个三元式的最值问题，无法利用+b来解决.换个思路，可考虑将重新组合，变成，而等于定值，于是就可以利用均值不等式了.9、消元例9、设为正实数，，则的最小值.　　分析本题也是三元式的最值问题.由题意得，则可对进行消元，用表示，即变为二元式，然后可利用均值不等式解决问题.　【例题解析】例1求函数的最值.解：（1）当时，，当且仅当即时取等号.所以当时，.（2）当时，，，.当

5、且仅当，即时取等号，所以当时，.例2已知，且，求的最小值.解：，当且仅当时，上式等号成立，又，可得时，.例3当时，求的最大值.解析：此题为两个式子积的形式，但其和不是定值.注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可.当，即时取等号，所以当时，的最大值为8.例4已知，求函数的最大值.解析：因，所以首先要“调整”符号，又不是常数，所以对要进行拆、凑项，，当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，.例5已知，为正实数，且，求的最大值.解析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式.同时还应化简中前面的系数为，.下面

6、将，分别看成两个因式：则，当且仅当且，即，时，等号成立.所以的最大值为.评注：本题注意到适当添加常数配凑后，两项的平方和为常数，故而进行变形利用基本不等式链解决问题.【基本不等式课堂练习】一、选择题1.已知，则的最小值是（）A．2B．C．4D．52.当0

7、　Ｃ．2ab　　Ｄ．a6.设x>0,则的最大值为  （　）Ａ．3　Ｂ．Ｃ．Ｄ．－1     7，设的最小值是(     ) A.10      B.   C.    D.8.若x,y是正数，且，则xy有（　）Ａ最大值16Ｂ．最小值  Ｃ．最小值16　Ｄ．最大值9.a,b是正数，则三个数的大小顺序是（　）Ａ．Ｂ．Ｃ．　Ｄ．10.下列函数中最小值为4的是()ＡＢＣＤ11、已知二次函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1(a∈Z)，且函数f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f(x)>1的解集为(　

8、　)A．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B．(－∞，0)∪(1，＋∞)C．(－1,0)D．(0,1)12、已知M是△ABC内的一点，且·＝2，∠BAC＝30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为，x，y，则＋的最小值是(　　)A．20B．18C．16D．913．设x,y为正数,则(x+y)(+)的最小值为()A.6B.9C.12D.1514．已知定义域为R的偶函数在上是增函数，且，则不等式的解集为（）A．B．C．D．15．若，则的最小值为（）A．8B