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时间:2020-10-30
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1、基本不等式---求最值的常见技巧【理论解析】一个技巧:逆用就是,逆用就是等.两个变形:(1),即调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数;(当且仅当时取等号)(2)(当且仅当时取等号).三个注意“一正、二定、三相等”的忽视.【解题方法技巧举例】1、添、减项(配常数项) 例1求函数的最小值. 当且仅当,即时,等号成立.所以的最小值是. 2、配系数(乘、除项) 例2已知,且满足,求的最大值. 分析,是二项“积”的形式,但不知其“和”的形式是否定值, 而已知是与的和为定值,故应先配系数,即将变形为
2、,再用均值不等式. 当且仅当,即时,等号成立.所以的最大值是. 3、裂项例3已知,求函数的最小值. 分析在分子的各因式中分别凑出,借助于裂项解决问题. 当且仅当,即时,取等号. 所以. 4、取倒数 例4已知,求函数的最小值. 分析分母是与的积,可通过配系数,使它们的和为定值;也可通过配系数,使它们的和为(这是解本题时真正需要的).于是通过取倒数即可解决问题. 解由,得,. 当且仅当,即时,取等号. 故的最小值是. 5、平方 例5已知且求的最大值. 分析条件式中的与都是平方式,而
3、所求式中的是一次式,是平方式但带根号.初看似乎无从下手,但若把所求式平方,则解题思路豁然开朗,即可利用均值不等式来解决.当且仅当,即,时,等号成立. 故的最大值是. 评注本题也可将纳入根号内,即将所求式化为,先配系数,再运用均值不等式的变式. 6、换元(整体思想) 例6求函数的最大值. 分析可先令,进行换元,再使分子常数化,然后运用均值不等式来解决. 7、逆用条件 例7已知,则的最小值是(). 分析直接利用均值不等式,只能求的最小值,而无法求的最小值.这时可逆用条件,即由,得,然后
4、展开即可解决问题. 评注若已知(或其他定值),要求的最大值,则同样可运用此法. 8、巧组合 例8若且,求的最小值. 分析初看,这是一个三元式的最值问题,无法利用+b来解决.换个思路,可考虑将重新组合,变成,而等于定值,于是就可以利用均值不等式了.9、消元例9、设为正实数,,则的最小值. 分析本题也是三元式的最值问题.由题意得,则可对进行消元,用表示,即变为二元式,然后可利用均值不等式解决问题. 【例题解析】例1求函数的最值.解:(1)当时,,当且仅当即时取等号.所以当时,.(2)当时,,,.当
5、且仅当,即时取等号,所以当时,.例2已知,且,求的最小值.解:,当且仅当时,上式等号成立,又,可得时,.例3当时,求的最大值.解析:此题为两个式子积的形式,但其和不是定值.注意到为定值,故只需将凑上一个系数即可.当,即时取等号,所以当时,的最大值为8.例4已知,求函数的最大值.解析:因,所以首先要“调整”符号,又不是常数,所以对要进行拆、凑项,,当且仅当,即时,上式等号成立,故当时,.例5已知,为正实数,且,求的最大值.解析:因条件和结论分别是二次和一次,故采用公式.同时还应化简中前面的系数为,.下面
6、将,分别看成两个因式:则,当且仅当且,即,时,等号成立.所以的最大值为.评注:本题注意到适当添加常数配凑后,两项的平方和为常数,故而进行变形利用基本不等式链解决问题.【基本不等式课堂练习】一、选择题1.已知,则的最小值是()A.2B.C.4D.52.当07、 C.2ab D.a6.设x>0,则的最大值为 ( )A.3 B.C.D.-1 7,设的最小值是( ) A.10 B. C. D.8.若x,y是正数,且,则xy有( )A最大值16B.最小值 C.最小值16 D.最大值9.a,b是正数,则三个数的大小顺序是( )A.B.C. D.10.下列函数中最小值为4的是()ABCD11、已知二次函数f(x)=ax2-(a+2)x+1(a∈Z),且函数f(x)在(-2,-1)上恰有一个零点,则不等式f(x)>1的解集为( 8、 )A.(-∞,-1)∪(0,+∞)B.(-∞,0)∪(1,+∞)C.(-1,0)D.(0,1)12、已知M是△ABC内的一点,且·=2,∠BAC=30°,若△MBC,△MCA和△MAB的面积分别为,x,y,则+的最小值是( )A.20B.18C.16D.913.设x,y为正数,则(x+y)(+)的最小值为()A.6B.9C.12D.1514.已知定义域为R的偶函数在上是增函数,且,则不等式的解集为()A.B.C.D.15.若,则的最小值为()A.8B
7、 C.2ab D.a6.设x>0,则的最大值为 ( )A.3 B.C.D.-1 7,设的最小值是( ) A.10 B. C. D.8.若x,y是正数,且,则xy有( )A最大值16B.最小值 C.最小值16 D.最大值9.a,b是正数,则三个数的大小顺序是( )A.B.C. D.10.下列函数中最小值为4的是()ABCD11、已知二次函数f(x)=ax2-(a+2)x+1(a∈Z),且函数f(x)在(-2,-1)上恰有一个零点,则不等式f(x)>1的解集为(
8、 )A.(-∞,-1)∪(0,+∞)B.(-∞,0)∪(1,+∞)C.(-1,0)D.(0,1)12、已知M是△ABC内的一点,且·=2,∠BAC=30°,若△MBC,△MCA和△MAB的面积分别为,x,y,则+的最小值是( )A.20B.18C.16D.913.设x,y为正数,则(x+y)(+)的最小值为()A.6B.9C.12D.1514.已知定义域为R的偶函数在上是增函数,且,则不等式的解集为()A.B.C.D.15.若,则的最小值为()A.8B
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