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时间:2020-09-10
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1、数值微分计算方法实验郑发进22【摘要】数值微分(numericaldifferentiation)根据函数在一些离散点的函数值,推算它在某点的导数或高阶导数的近似值的方法。通常用差商代替微商,或者用一个能够近似代替该函数的较简单的可微函数(如多项式或样条函数等)的相应导数作为能求导数的近似值。例如一些常用的数值微分公式(如两点公式、三点公式等)就是在等距步长情形下用插值多项式的导数作为近似值的。此外,还可以采用待定系数法建立各阶导数的数值微分公式,并且用外推技术来提高所求近似值的精确度。当函数可微性
2、不太好时,利用样条插值进行数值微分要比多项式插值更适宜。如果离散点上的数据有不容忽视的随机误差,应该用曲线拟合代替函数插值,然后用拟合曲线的导数作为所求导数的近似值,这种做法可以起到减少随机误差的作用。数值微分公式还是微分方程数值解法的重要依据。关键词中心差分公式;理查森外推法;牛顿多项式微分;一、实验目的1.通过本次实验熟悉并掌握各种数值微分算法。2.掌握如何通过程序设计实现数值微分算法,从而更好地解决实际中的问题。二、实验原理1.精度为的中心差分公式:设,且,则而且存在数,满足其中项称为截断误差
3、。1.精度为的中心差分公式:设,且,则而且存在数,满足其中项称为截断误差。3.理查森外推法:利用低阶公式推出高阶求解数值微分的公式,定理如下:设的两个精度为的近似值分别为和,而且它们满足和这样可得到改进的近似值表达式4.牛顿多项式微分:利用的个插值点可得近似的次牛顿多项式,其可表示为则的导数可以表示为由此可知在处的导数值三、实验内容1.P2601用程序6.1求解下列函数在x处的倒数近似值,精度为小数点后13位。注:有必要改写程序中的max1的值和h的初始值。P2602修改程序6.1,实现精度为O(h
4、4)的中心差分公式(10)。用这个程序求解上题中给出的函数导数的近似值。精度为小数点后13位。P2603使用程序6.2求解第1题中函数导数的近似值。精度为小数点后13位。注:有必要改变err,relerr和h的初始值。1.P2701修改程序6.3,使得可用它计算。四、实验结果及分析(一)实验描述1.P2601已知下列函数,用数值微分方法求解在处的导数近似值,精度为小数点后面的13位。(1)P2601使用精度的中心差分公式求解(2)P2602使用精度的中心差分公式求解(3)P2603使用理查森外推法求
5、解2.P2701计算阶牛顿插值多项式的在插值点的导数值(二)实验算法1.P2601计算精度为导数近似值的算法.依据精度为的中心差分公式,利用步长序列。Step1:输入函数,要计算的导数的横坐标及相对误差容限toler,步长序列长度;Step2:设置初始参量,初始步长,在处的近似导数值令,计算并令近似导数值序列前两个初值,相对误差序列前两个初值。Step3:fori=2uptomax1)计算步长时的近似导数值,;2)近似导数值序列间隔,相对误差序列。3)若或,则停止计算循环;Step4:输出即可得到符
6、合精度要求的近似导数值,记录。Step5:将储存到向量中列表输出。2.P2602计算精度为导数近似值的算法.依据精度为的中心差分公式,利用步长序列。Step1:输入函数,要计算的导数的横坐标及相对误差容限toler,步长序列长度;Step2:设置初始参量,初始步长,在处的近似导数值令,计算并令近似导数值序列前两个初值,相对误差序列前两个初值。Step3:fori=1uptomax1)计算步长时的近似导数值,;2)近似导数值序列间隔,相对误差序列。3)若或,则停止计算循环;Step4:输出即可得到符合
7、精度要求的近似导数值,记录。Step5:将储存到向量中输出。3.P2603利用理查森外推法设计计算满足精度要求的近似导数值的算法,Step1:输入函数,自变量,相对误差容限toler,误差容限delta,初始步长,计算行数上限;Step2:计算初始化量1)初始近似导数值;2)初始误差,初始相对误差;3);Step3:计算出符合精度要求的近似导数值:若且且,则进行下列计算,否则进入step41),;Fork=1uptoj2)计算误差3)计算相对误差4),返回step3Step4:输出,为符合要求的导数
8、近似值。4.P2701利用牛顿多项式微分求解各插值点的近似的导数值算法流程如下:Step1:输入及其对应的函数值,Step2:fork=0uptoN,计算处的近似导数值1),,2)令,forj=1uptoN+1fori=j+1uptoN+13)p=1,,forn=2uptoNStep3:向量即处的近似导数值,(三)实验结果1.P260(1)利用精度为的中心差分公式求解结果(2)利用精度为的中心差分公式求解结果(3)利用理查森外推法求解结果3种方法所求的结果如下,结果的
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