数值微分计算方法实验

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1、12《数值方法》实验报告数值微分计算方法实验【摘要】数值微分(numericaldifferentiation)根据函数在一些离散点的函数值，推算它在某点的导数或高阶导数的近似值的方法。通常用差商代替微商，或者用一个能够近似代替该函数的较简单的可微函数（如多项式或样条函数等）的相应导数作为能求导数的近似值。例如一些常用的数值微分公式(如两点公式、三点公式等)就是在等距步长情形下用插值多项式的导数作为近似值的。此外，还可以采用待定系数法建立各阶导数的数值微分公式，并且用外推技术来提高所求近似值的精确度。当函数可微性不太好时，利用样条插值进行数值微分要比多项式插值更适宜。如果离散点上的

2、数据有不容忽视的随机误差，应该用曲线拟合代替函数插值，然后用拟合曲线的导数作为所求导数的近似值，这种做法可以起到减少随机误差的作用。数值微分公式还是微分方程数值解法的重要依据。关键词中心差分公式；理查森外推法；牛顿多项式微分；一、实验目的1.通过本次实验熟悉并掌握各种数值微分算法。2.掌握如何通过程序设计实现数值微分算法，从而更好地解决实际中的问题。二、实验原理1.精度为的中心差分公式：设，且，则而且存在数，满足12《数值方法》实验报告其中项称为截断误差。1.精度为的中心差分公式：设，且，则而且存在数，满足其中项称为截断误差。3.理查森外推法：利用低阶公式推出高阶求解数值微分的公式

3、，定理如下：设的两个精度为的近似值分别为和，而且它们满足和这样可得到改进的近似值表达式12《数值方法》实验报告4.牛顿多项式微分：利用的个插值点可得近似的次牛顿多项式，其可表示为则的导数可以表示为由此可知在处的导数值三、实验内容1.P2601用程序6.1求解下列函数在x处的倒数近似值，精度为小数点后13位。注：有必要改写程序中的max1的值和h的初始值。P2602修改程序6.1，实现精度为O（h412《数值方法》实验报告）的中心差分公式（10）。用这个程序求解上题中给出的函数导数的近似值。精度为小数点后13位。P2603使用程序6.2求解第1题中函数导数的近似值。精度为小数点后13

4、位。注：有必要改变err，relerr和h的初始值。1.P2701修改程序6.3，使得可用它计算。四、实验结果及分析（一）实验描述1.P2601已知下列函数，用数值微分方法求解在处的导数近似值，精度为小数点后面的13位。（1）P2601使用精度的中心差分公式求解（2）P2602使用精度的中心差分公式求解（3）P2603使用理查森外推法求解2.P2701计算阶牛顿插值多项式的在插值点的导数值12《数值方法》实验报告（二）实验算法1.P2601计算精度为导数近似值的算法.依据精度为的中心差分公式，利用步长序列。Step1：输入函数，要计算的导数的横坐标及相对误差容限toler，步长序列

5、长度；Step2：设置初始参量，初始步长，在处的近似导数值令，计算并令近似导数值序列前两个初值，相对误差序列前两个初值。Step3：fori=2uptomax1）计算步长时的近似导数值，；2）近似导数值序列间隔，相对误差序列。3）若或，则停止计算循环；12《数值方法》实验报告Step4：输出即可得到符合精度要求的近似导数值，记录。Step5：将储存到向量中列表输出。2.P2602计算精度为导数近似值的算法.依据精度为的中心差分公式，利用步长序列。Step1：输入函数，要计算的导数的横坐标及相对误差容限toler，步长序列长度；Step2：设置初始参量，初始步长，在处的近似导数值令，

6、计算并令近似导数值序列前两个初值，相对误差序列前两个初值。Step3：fori=1uptomax1）计算步长时的近似导数值，；2）近似导数值序列间隔，相对误差序列。3）若或，则停止计算循环；Step4：输出即可得到符合精度要求的近似导数值，记录。Step5：将储存到向量中输出。12《数值方法》实验报告3.P2603利用理查森外推法设计计算满足精度要求的近似导数值的算法，Step1：输入函数，自变量，相对误差容限toler，误差容限delta，初始步长，计算行数上限；Step2：计算初始化量1）初始近似导数值；2）初始误差，初始相对误差；3）；Step3：计算出符合精度要求的近似导数

7、值：若且且，则进行下列计算，否则进入step41）,;Fork=1uptoj2)计算误差3)计算相对误差4),返回step3Step4：输出，为符合要求的导数近似值。4.P2701利用牛顿多项式微分求解各插值点的近似的导数值算法流程如下：Step1：输入及其对应的函数值，Step2：fork=0uptoN，计算处的近似导数值1），，2)令，12《数值方法》实验报告forj=1uptoN+1fori=j+1uptoN+13）p=1，，forn=2uptoNStep3：向