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《数值计算方法实验报告6—数值微分!!!new》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、«数值计算方法»实验报告标题：函数的数值微分计算1.实验描述：在科学技术工程和实践中，经常需要求解微分方程（包括：常微分方程、偏微分方程），而微分方程求解的基础正是：数值微分。数值微分的公式对开发求解微分方程的算法具有重要的意义。一般来说，进行数值微分计算，其结果只有计算机表示能力的一半精度，因此，在进行数值微分计算时要小心处理，具体来说，就是要找到一个优化步长进行计算。当遇到大量的数据时，一种有效的方法是：先用最小二乘法进行曲线拟合，然后对曲线函数进行微分。本次实验：通过对已知函数采用不同方法进行数值微分，分析各种方法的误差，画出误差曲线图，找到优化步长，最后比较各种方法的优缺点。2.
2、实验内容：计算余弦函数f(x)=cos(x)的数值微分（一阶导数、二阶导数）并进行误差分析。具体内容如下：1.分别利用O(h^2),O(h^4)中心差分法计算一阶导数及误差分析；2.分别利用O(h^2),O(h^4)中心差分法计算二阶导数及误差分析；3.对上面4种微分，画出其0~π上不同步长h的误差曲线图；4.在两端点0，π采用对应精度的Lagrange多项式微分。3.实验原理及分析：①O(h^2),O(h^4)中心差分法计算一阶导数及误差分析：O(h^2)中心差分法原理：3'fx(+h)−fx(−h)设f∈Cab[,],且x−hx,+h∈[,],ab则：fx()≈；2h23hfc()2
3、截断误差E(,)fh=−=Oh(),其中c=cx()∈[,]ab。trunc6O(h^4)中心差分法原理5设f∈Cab[,],且x−2,hx−hx,+hx,+2h∈[,],ab'−fx(+2)h+8(fx+h)−8(fx−h)+fx(−2)h则：fx()≈；12h45hfc()4截断误差E(,)fh=−=Oh(),其中c=cx()∈[,]ab。trunc30«数值计算方法»实验报告②O(h^2),O(h^4)中心差分法计算二阶导数及误差分析：O(h^2)中心差分法原理：4设f∈C[,],ab且x−hx,+h∈[,],abfx(+h)−2()fx+fx(−h)f−2f+f(2)10−1则f
4、≈=22hh24hfc()截断误差：E=−,其中c=cx()∈[,]abtrunc12O(h^4)中心差分法原理：6设f∈C[,],ab且x−2,hx−hx,+hx,+2h∈[,],ab−f+16f−30f+16f−f(2)210−1−2则f≈2h4截断误差：E=Oh()trunc③误差分析及优化步长：如前所述：截断误差已经求出，下面将分析总误差，既舍入误差和截断误差之和。Efh(,)=E+Eroundtrunc2下面以Oh()中心差分法为例：21ξMh3ξ一阶导数误差：E≤+,优化步长h=(),3h6M其中ξ为舍入误差的界，M为三阶导数的界；214ξMh48ξ二阶导数误差：E≤+,优化
5、步长h=()42h12M其中ξ为舍入误差的界，M为四阶导数的界。④Lagrange多项式微分：如果函数必须求其单侧微分，则不能使用中心差分公式，此时需要应用Lagrange多项式微分进行计算，计算公式分为：前向微分公式和后向微分公式，在左端点应用前向微分公式，在右端点应用后向微分公式。具体公式如下：−3f+4f−f'012fx()≈,(前向微分)；2h3-4ff+f'0-1-2fx()≈（后向微分）；2h2f−5f+4f−f(2)0123f()x≈,(前向微分)；2h2f−5f+4f−f(2)0-1-2-3f()x≈,(后向微分)。2h«数值计算方法»实验报告4.实验结果及结论分析：①O
6、(h^2),O(h^4)中心差分法计算一阶导数及误差分析：关键代码：X=[x'x'x'x'x'x'x'x'x'];Y=-sin(X);%Y为真实导数Y1=1/2*(f1-f_1)*diag(h1)^(-1);%Y1为O(h^2)中心差分法计算的导数Y2=1/12*(-f2+8*f1-8*f_1+f_2)*diag(h1)^(-1);%Y2为O(h^4)中心差分法计算的导数E1=Y1-Y;%E1为O(h^2)中心差分法计算的误差E2=Y2-Y;%E2为O(h^2)中心差分法计算的导误差figure(1),plot(X,Y1,'r',X,Y2,'b',X,Y,'y')%画出数值微分曲线及真实
7、微分曲线figure(2),plot(X,E1,'r',X,E2,'b')%画出误差曲线EB1=0.5*10^(-9)*diag(diag(h1)^(-1))+diag(diag(h1)).^2/6;%EB1为O(h^2)中心差分法计算的误差边界EB2=1.5*10^(-9)*diag(diag(h1)^(-1))+diag(diag(h1)).^4/30;%EB2为O(h^4)中心差分法计算的误差边界figure(3),plot(
