数学定义域和值域.doc

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1、函数的有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)

2、x∈A}叫做函数的值域．经典例题透析类型一、函数概念　1.下列各组函数是否表示同一个函数？　　(1)　　(2)　　(3)　　(4)小结1:相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致(两点必须同时具备

3、)2.求下列函数的定义域(用区间表示).　　(1)；　　(2)；　　　(3).求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零，(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.3．值域:（先考虑其定义域）实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域

4、还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：1.直接法:由常见函数的值域或不等式性质求出；2.分离常数法：可将其分离出一个常数；　　3.观察法：利用函数的图象的"最高点"和"最低点"，观察求得函数的值域；　4.判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些"分式"函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；　　5.换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.　　例题详见备课本5.换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式

5、模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。∵∴解得：故所求函数的值域为例3.求函数的值域。解：令，则∵又，由二次函数的性质可知当时，当时，故函数的值域为正确用判别式法求值域“着重点”辨析用判别式法求函数的值域是求值域的一种重要方法之一，它主要适用于分式型二次函数，或可通过换元法转化为二次函数的一些函数求值域问题。但在用判别式法求值域时因忽视一些“着重点”而经常出错，下面针对“着重点”一一加以辨析着重点1对二次方程的二次项系数是否为零加以讨论例1求函数的值域。错解原式变形为（*）∵，∴，解得。故所求函数的值域是分析把代入方程（*）显然无解，

6、因此不在函数的值域内。事实上，时，方程（*）的二次项系数为0，显然用“”来判定其根的存在情况是不正确的，因此要注意判别式存在的前提条件，即需对二次方程的二次项系数加以讨论。正解原式变形为（*）（1）当时，方程（*）无解；（2）当时，∵，∴，解得。由（1）、（2）得，此函数的值域为着重点2将原函数转化为方程时应等价变形例2求函数的值域。（把题目中的x+1改成减）错解移项平方得：，由解得，则原函数的值域是.分析由于平方得，这种变形不是等价变形，实际上扩大了的取值范围，如果从原函数定义域，那么，显然是错误的。正解令，则t0，得，，又0，，故原函数的值域为着重点3力求先化简，不

7、盲目用判别式法当用分子分母有公因式时，不能转化为二次方程再用判别式法，而应先约去公因式例3求函数的值域错解----------------------①，即---------②当，即时，由②得（舍去），；当即时，得,。综上可述，原函数的值域为{

8、且}。分析事实上，当，即=时，解得，而当时原函数没有意义，故。错误的原因在于，当时，的值为零，所以是方程②的根，但它不属于原函数的定义域，所以方程②与方程①不同解，故函数不能转化为二次方程，用二次方程的理论行不通。正解原函数可化为==，即,，且故原函数的值域为{

9、且}。