数学：定义域和值域的逆向问题

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1、定义域和值域的逆向问题定义域和值域的逆向问题，是数学中的常见问题，解决好此类问题，可以锻炼同学们的逆向思维能力，因此要重视此类问题的解决。一、已知定义域求值域例1求定义域在［-1，1］上的函数的值域。解：函数式变形为，显然y≠-1由原函数表达式可得。又，得，解得，即此函数的值域为。注：此法是把函数式视为关于x的方程，解出x，再运用已知的定义域，解关于y的不等式求得值域。二、已知值域求定义域例2已知函数的值域是，求此函数的定义域。解：由，解得。由，解得。∴此函数的定义域为。注：此题直接由函数值域得出表达式的不等式，进而求得定义

2、域，同时还可以利用反比例函数图象直观地得出结论，同学们不妨试一试。三、已知定义域求解参数问题例3已知函数的定义域为R，求实数a的取值范围。解：由题意知时，恒成立。（1）当且时，有a=1，此时f(x)=1，显然对时，恒成立。（2）当时，有解不等式组得。综上知，当时，使得有意义的a的取值范围是［1，9］。注：此问题转化为不等式恒成立问题，但要注意二次函数的二次项系数为字母时的分类讨论。四、已知值域求解参数问题例4已知函数的值域为［1，3］，求a、b的值。解：由题意知，把原函数变形为当时，满足题意当时，因，所以，即。因，所以1和3

3、是方程的两个实根，由韦达定理解得。注：解决此问题的关键在于把求值域的问题和解一元二次不等式的问题联系起来，最后通过比较同解不等式的系数，列方程求出参数的值。五、已知定义域和值域求解参数问题例5已知二次函数满足条件，，且方程有两个相等实根。问是否存在实数，使得的定义域为［m，n］时，值域为［3m，3n］。如果存在，求出m、n的值；如果不存在，请说明理由。解：因，所以函数的图象的对称轴为直线=1，可得①由，得②因方程有两个相等实根，即有相等实根，所以③将①代入②，得。由③知，b=1，所以。则，所以，即。在［m，n］上单调递增，假

4、设存在满足条件的m、n，则解得又，则m=-4，n=0，即存在m=-4，n=0满足条件。注：解决定义域和值域共存问题时，不要盲目进行分类讨论，而应从条件出发，分析和探讨出解决问题的途径，确定函数的单调性，从而使问题得以解决。练一练：1.求下列函数的值域：①；②；③。2.求函数的最大值。答案：1.①（提示：，而，所以，可得。另外，原函数变形为，因，所以，即且）②（提示：，而，所以）③（提示：因，所以。另外，令，则，所以，也可能）2.（提示：，所以，当，即时，y取最大值）