函数的定义域和值域的逆向问题

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1、函数定义域、值域的逆向问题探究（江西省金溪县第一中学李伟344800）在函数定义域、值域给出或变化范围给出的情况下，求解与之相关的某些参数的取值范围的一类函数问题，被称之为函数的定义域、值域的逆向问题。众所周知，函数的定义域、值域的求解没有通性解法，只能依据函数的解析式结构特征来灵活解决，而函数的逆向问题还要反其道而行之，可想而之，难度又加大了一些。当然，这也更能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，特别是综合分析能力及逆向思维。为了便于师生复习，现从定义域、值域两方面对其进行归类例析。一、函数的定义域受限给出，值域受限给出此种类型题目把函数定义域、值域、函数的

2、性质融合在一起，并充分体现了定义域对值域的制约关系。应多利用函数的性质来解题，特别是要确定好函数图像的对称轴与已知函数定义域内外的关系，结合函数的单调性来求解。例1已知二次函数。若的定义域为时，值域也是，符合上述条件的函数是否存在？若存在，求出的解析式；若不存在，请说明理由。解：假设符合条件的存在。函数图像的对称轴是，又，（1）当时，即，函数有最小值，则（2）当时，即时，则（3）当，即时，函数在上单调递增，则综上所述，符合条件的函数有2个：一、函数的定义域不受限给出，值域受限给出此种类型题目的突破口就在于定义域不受限。解题时可参照判别式求值域的方法进行计算，运

3、用韦达定理进行求解，但要注意验证二次项系数为0的情况。例2已知函数的定义域为，值域为，求的值。解：设，则。，即又，关于的一元二次方程的两根为1和9，由韦达定理得，解得若时，对应，符合条件。为所求。二、函数定义域内的值域不受限给出此种类型题目只给出值域为。解题时应注意理解题目的要求，区分取值是属于恒成立的问题还是子集的问题，以便正确运用判别式来处理，同时也应谨记判断二次项系数为0的情况。例3已知函数若的值域为，求实数的取值范围。解：设,,即只要能取到上的任何实数即满足要求。由右图①若，则；②若，则，当。满足要求。当。（不合，舍去）。一、函数定义域内的值域受限范围

4、给出，而非给出值域此种类型题目只给出了函数值的范围，而非给出值域，应注意区分判别。一般来说，如果是值域的话，题目会明确说明值域是什么，否则应谨慎审题。例2已知函数对定义域内的任意值都有，求的取值范围。解：由已知可得，对定义域内的任意，有恒成立，由注：此题易错认为是函数的值域。错解如下，应注意区分。[错解]把已知函数式变为，当；当时，方程必有实根，则关于y的不等式，即的解必为，从而-1，4是方程的两个根，求得。以下几道类似的习题，帮助同学们复习巩固，以达到知识的正向迁移。1、若的值域为R，则实数的取值范围是。2、若在区间上的值域仍是，（其中），求的值。3、若函数

5、的定义域为集合A，值域为[1，7]，集合，则集合A与集合B的关系为。附答案：1、2、3、。作者联系方式姓名：李伟地址1：江西省金溪县第一中学邮编:344800地址2：华中师范大学数统学院05级数学教育硕士邮编：430079电话：15926318630或027-87377945Email:jxyz_liwei@163.com