函数定义域和值域.doc

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1、第一讲函数定义域和值域★★★高考在考什么【考题回放】1．（湖南卷）函数f(x)＝的定义域是　（　A）A．－∞，0]B．[0，＋∞C．（－∞，0）　D．（－∞，＋∞）2．（江西卷）函数的定义域为（A）A．（1，2）∪（2，3）B．C．（1，3）D．[1，3]3．(浙江五校联考)对于抛物线线上的每一个点，点都满足，则的取值范围是（B）．．．．4．已知的定义域为，则的定义域为。5．(上海模拟)不等式对一切非零实数x总成立,则的取值范围是__。6．（07江苏）　已知二次函数的导数为，，对于任意实数，有，则的最小值为　。★★★高考要考什么一、函数定义域有两类：具体函数与抽象函数具体函数：只要函数式有

2、意义就行－－－解不等式组；抽象函数：（1）已知的定义域为D，求的定义域；（由求得的范围就是）（2）已知的定义域为D，求的定义域；（求出的范围就是）二、函数值域（最值）的求法有：直观法：图象在轴上的“投影”的范围就是值域的范围；配方法：适合一元二次函数反解法：有界量用来表示。如，，等等。如，。换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，特别注意新变量的范围。注意三角换元的应用。-5-/5　如求的值域。单调性：特别适合于指、对数函数的复合函数。如求值域。注意函数的单调性。基本不等式：要注意“一正、二定、三相等”，判别式：适合于可转化为关于的一元二次方程的函数求值域。如。反之：方程有解也可转化为函

3、数求值域。如方程有解，求的范围。数形结合：要注意代数式的几何意义。如的值域。（几何意义――斜率）一、恒成立和有解问题恒成立的最大值；恒成立的最小值；有解的最小值；　无解的最小值；★★★突破重难点【范例1】已知f(x)=3x－b（2≤x≤4，b为常数）的图象经过点（2，1），求F(x)=[f－1(x)]2－f－1(x2)的值域。分析提示：求函数值域时，不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域的制约作用。本题要注意F(x)的定义域与f－1(x)定义域的联系与区别。解：由图象经过点（2，1）得，，　　F(x)=[f－1(x)]2－f－1(x2)的定义域为　，　，　　　　的值域是易错点：把的

4、定义域当做的定义域。变式：函数的定义域为，图象如图所示，其反函数为则不等式的解集为.-5-/5【范例2】（07福建）设函数．（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若对恒成立，求实数的取值范围．解：（Ⅰ），当时，取最小值，即．（Ⅱ）令，由得，（不合题意，舍去）．当变化时，的变化情况如下表：递增极大值递减在内有最大值．在内恒成立等价于在内恒成立，即等价于，所以的取值范围为．变式：函数f（x）是奇函数，且在[—l，1]上单调递增，f（－1）＝－1，(1)则f（x）在[－1，1]上的最大值　　1　，(2)若对所有的x∈[－1，1]及a∈[－1，1]都成立，则t的取值范围是_．【范例3】已知函数与的图象相交于，，

5、，分别是的图象在两点的切线，分别是，与轴的交点．（I）求的取值范围；（II）设为点的横坐标，当时，写出以为自变量的函数式，并求其定义域和值域；（III）试比较与的大小，并说明理由（是坐标原点）．-5-/5解：（I）由方程消得．①依题意，该方程有两个正实根，故解得．（II）由，求得切线的方程为，由，并令，得，是方程①的两实根，且，故，，是关于的减函数，所以的取值范围是．是关于的增函数，定义域为，所以值域为，（III）当时，由（II）可知．类似可得．．由①可知．从而．当时，有相同的结果．所以．变式：已知函数的最大值是，最小值是，求的值。分析提示：（1）能化成关于的二次函数，注意对数的运算法则；

6、(2)注意挖掘隐含条件“”；（3）掌握复合函数最值问题的求解方法。解：=，∵，且-5-/5∴当即时，∴∴，又最大值是，，∴即，∴∴-5-/5