数学建模实验二.doc

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1、数学建模实验二(微分方程实验)基本实验1.微分方程稳定性分析绘出下列自治系统相应的轨线，并标出随t增加的运动方向，确定平衡点，并按稳定的、渐近稳定的、或不稳定的进行分类：解答：（1）由平衡点的定义可得，f(x)=x=0，f(y)=y=0，因此平衡点为(0,0)，系统的线性近似方程的系数矩阵为，解得其特征值.,.对照稳定性的情况表，可知平衡点(0,0)是不稳定的。自治系统相应轨线为：（2）由平衡点的定义可得，f(x)=-x=0，f(y)=2y=0，因此平衡点为(0,0)，系统的线性近似方程的系数矩阵

2、为，解得其特征值.,.对照稳定性的情况表，可知平衡点(0,0)是不稳定的。自治系统相应轨线为：（2）由平衡点的定义可得，f(x)=y=0，f(y)=-2x=0，因此平衡点为(0,0)，系统的线性近似方程的系数矩阵为，解得其特征值.,.对照稳定性的情况表，可知平衡点(0,0)是不稳定的。自治系统相应轨线为：（2）由平衡点的定义可得，f(x)=-x=0，f(y)=-2y=0，因此平衡点为(0,0)，系统的线性近似方程的系数矩阵为，解得其特征值.,.对照稳定性的情况表，可知平衡点(0,0)是稳定的。自治

3、系统相应轨线为：1.营养平衡问题营养以每单位时间R个分子的常速流入一个细胞，并且以其内营养浓度成比例的速度离开，比例常数为K，设N为t时刻的浓度，则上述营养变化速度的数学描述为：即N的变化速度等于营养进入细胞的速度减去它们离开的速度，营养的浓度会达到平衡吗？如果能，平衡解是什么？它是稳定的吗？试用这个方程解的图示解释之。解答：由题意可得N满足的微分方程为：，令，可求得方程的平衡点，当时，；当时，.不难计算出，由题意知,故平衡点是稳定的。由以上分析可做图示分析如下：1.种群增长模型一个片子上的一群病

4、菌趋向于繁殖成一个圆菌落.设病菌的数目为N，单位成员的增长率为，则由Malthus生长律有，但是，处于周界表面的那些病菌由于寒冷而受到损伤，它们死亡的数量与成比例，其比例系数为，求N满足的微分方程.不用求解，图示其解族.方程是否有平衡解，如果有，是否为稳定的?解答：由题意可得N满足的微分方程为：，令，可求得方程的两个平衡点，分析可得，当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递减，所以是不稳定的，是稳定的。对求二次微分可得：，令得，该点即为曲线的拐点。方程的解族如下图所示：由图形也可以看出，是不稳

5、定的，是稳定的。1.单种群开发模型考虑单种群开发方程用数学表达式证明：在稳定状态下，最优捕捞率为解答：由本问题的目标出发，渔场中鱼量达到稳定的平衡状态时的情形，不必知道每一时刻的鱼量变化情况，故不需要解出方程，只需要讨论方程的平衡点并分析其稳定性。令解得的两个平衡点为：，易得由定理知：若，则是稳定的；若，则不是稳定的。应用上述近似判别法，所以有当Er时，，不是稳定平衡点，是稳定平衡点；所以，当捕捞适度(即：E

6、量，而当捕捞过度（即：E>r）时，渔场产量将减至，从而是不可持续的。令求导可得：所以，最优捕捞率为。1.Compertz模型设渔场鱼量自然增长服从Gompertz模型：其中r为固有增长率，N为最大种群数量。若单位时间捕捞量为．讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量及获得最大产量的捕捞强度和渔场鱼量水平。解答：令：由：，，解得该方程的平衡点为，．，可得平衡点是稳定的，而平衡点不稳定.最大持续产量的数学模型为：由前面的结果可得，令可得最大产量的捕捞强度，从而得到最大持续产量，此时，渔场鱼量水平

7、。1.有限资源竞争模型微分方程是两个物种为了共同的有限资源而竞争的模型，假设c1>a1，c2>a2。试用微分方程稳定性理论分析：(1)如果，则(2)如果，则(3)用图形分析方法来说明上述两种情况。解答：（1）令得方程的平衡点为P0（0,0），P1（,0），P2（0,）.对平衡点P0（0,0），系数矩阵又c1>a1，c2>a2则p=-[(c1-a1)+(c2-a2)]<0，所以该平衡点不稳定。对平衡点P1（,0），系数矩阵则p=，q=，若，且c1>a1，c2>a2，则q<0不稳定。而对于P2（0,）

8、，有p>0，且q>0稳定，此时说明物种1最终要灭亡。(2)如果的情况下，方程在P1（,0）稳定，其他点不稳定，此时说明物种2最终会灭亡。(3)对于线性方程组，其中，直线将第一象限分成三个区域。①当时，P2点稳定，通过分析的单调性可得下图：此时说明物种1最终要灭亡。②当时，P1点稳定，通过分析的单调性可得下图：此时说明物种2最终要灭亡。1.蝴蝶效应与混沌解考虑Lorenz模型其中，且初值为,，ε为一个小常数，假设，且。（1）用函数ode45求解，并画出x2~x1,x2~x3,x3~x