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1、离散变量问题优化算法（AlgorithmsforDiscreteVariableProblem）一般的优化方法只能求得连续变量的最优解。工程实际中存在大量混合设计变量问题。混合设计变量包含：连续设计变量、整型设计变量和离散设计变量。§9.1引言例如：齿轮传动装置的优化设计，齿数是一个整型量，模数是一系列离散量，变位系数可以看做连续量，齿宽若按长度1mm单位计算，则也可以看做整型量。求离散问题的最优解，传统的方法是先用连续变量优化设计方法求连续变量的最优解，然后圆整到离散值上。弊病：可能得不到可行最优解，或所得的解不是离散
2、最优解。x*为连续变量最优解；x(1)是圆整后最近的离散点，但不可行；x(2)是最近的可行离散点，但不是离散最优点；x(3)是离散最优点。传统方法的局限性离散变量优化难点：不存在指导搜索过程的最优性条件。直接方法：枚举法（enumeration）。可行点过多时，计算量大。减少计算量：随机思想（stochasticideas）、启发式原则（heuristicrules）。两种基本方法：（隐式）枚举法：如，分枝定界法（thebranchandboundalgorithm）；随机或进化方法：如，模拟退火算法、遗传算法等。离散变
3、量优化方法§9.3分枝定界法（thebranchandboundalgorithm）松弛问题：以整型优化问题为例：引入概念：松弛问题。分枝定界法基本思想：设有最大化的整型优化问题A，相应有松弛问题B，从解松弛问题B开始，若其最优解不符合A的整数条件，那么B的最优目标函数必是A的最优目标函数的上界，记作；而A的任意可行解的目标函数值将是的一个下界，记作。分枝定界法就是将B的可行域分成子区域(称为分枝)的方法，逐步减小，增大，最终求到。（1）分枝在松弛问题B的最优解中任选一个不符合整数条件的变量,其值为,以表示小于的最大整数
4、。构造两个约束条件将这两个约束条件,分别加入问题B,求两个后继规划问题B1和B2,不考虑整数条件求解这两个后继问题.三个基本操作：（2）定界以每个后继问题为一分枝标明求解结果,在解的结果中,找出最优目标函数值最大者作为新的上界.从已符合整数条件的各分支中,找出目标函数值为最大者作为新的下界,若无,则下界为0.（3）比较与剪枝各分支的最优目标函数中若有小于，则剪掉这枝；若大于且不符合整数条件，则重复前两步，直到找到最优解。分枝定界法计算过程：上界x1≤[x*01]x1≥[x*01]+1当所有的子问题均被关闭或剪枝后目标函数
5、值最大的整数解既为所求的最优解若的最优值，剪枝若的最优值；将下界改为例：用分枝定界法求解整型优化问题（用图解法计算）：首先去掉整数约束，变为一般线性优化问题（松弛问题），记为LP：求出松弛问题最优解：即也是离散问题目标函数的上限。先将（LP）划分为（LP1）和（LP2）,取。松弛问题最优解：现在只要求出（LP1）和（LP2）的最优解即可。将（LP）划分为（LP1）和（LP2）,取。先求（LP1）,如图所示。先求（LP1）,如图所示。此时B在点取得最优解。求（LP2）,如图所示。在C点取得最优解。∵Z(2)>Z(1)=16
6、，∴原问题可能有比（16）更大的最优解；但x2不是整数，故利用x2≤3，x2≥4加入条件。现在只要求出（LP21）和（LP22）的最优解即可。将（LP2）划分为（LP21）和（LP22）,取。先求（LP21）,如图所示。在D点取得最优解。求（LP22），如图所示。无可行解，不再分枝。LP21取得最优解：且有x1＝2.4不是整数，可继续分枝，令x1≤2，x1≥3。剪枝现在只要求出（LP211）和（LP222）的最优解即可。将（LP21）划分为（LP211）和（LP222）,取。先求（LP211）先求（LP211）如图所示，
7、此时E在点取得最优解：求（LP212）如图所示，此时F在点取得最优解：找到最优解（1）若分枝后得到整数解，则这枝不必再分枝；（2）若分枝后得到非整数解,如果比整数解更好，则这枝继续分枝；（3）若分枝后得到非整数解,如果比整数解更差，则这枝不必再分枝。几点注意事项：§9.3离散变量优化——组合形法——（P维)离散变量向量；——（n-P维)连续变量向量；——离散设计空间；——连续设计空间；——分别表示离散子空间和连续子空间。离散变量数学模型的一般形式：以复合形法为基础发展而来，使之能在离散空间中直接搜索离散点，从而满足求解离
8、散变量优化问题的需要。基本思想：通过对初始复合形调优迭代．使新的组合形不断向最优点移动和收缩，直至满足一定的终止条件为止。下面分五个部分介绍离散变量组合形法：（1）初始离散组合形的产生（2）离散一维搜索（3）约束条件处理（4）组合形的调整（5）收敛准则§9.3.1初始离散组合形的产生顶点数：初始离散点记为，不必满足约
